====== Szerkesztés ====== ===== Euklidesi szerkesztés lépései ===== Euklideszi szerkesztésnek nevezünk minden olyan szerkesztést, ami egy darab egyélű vonalzóval és egy darab körzővel elvégezhető. Az elnevezés eredete az, hogy Euklidesz //Elemek// című könyvében rögzítette az általa alkalmazhatónak tartott szerkesztési eljárásokat. Ezek röviden: * két pont összekötése egyenessel * két egyenes metszéspontjának a megrajzolása * kör rajzolása, ha adott a középpontja és egy pontja, vagy a sugara (két pont, melyek távolsága megegyezik a sugárral) * kör és egyenes metszéspontjának a megrajzolása * két kör metszéspontjának a megrajzolása * ezek véges számú ismétlése ===== Alapszerkesztések ===== Bár az euklidesi szerkesztés lépései csak a fenti néhány eljárást engedik meg, a gyakorlatban sokszor használunk ezeből levezethető egyéb lépéseket is, ezáltal rövidebbek, átláthatóbbak lesznek a szerkesztési leírások. Ezek az úgynevezett **alapszerkesztések**. ==== Szögfelezés ==== ==== Szakaszfelezés ==== ==== Szögmásolás ==== ==== Adott ponton át adott egyenessel párhuzamos egyenes megszerkesztése ==== ==== Adott ponton át adott egyenesre merőleges egyenes megszerkesztése ==== ===== A szerkesztés menete ===== Az egyes szerkesztési feladatokban mindig adott pontok egy bizonyos halmazából indulunk ki - ezek az alap adatok. Az alapadatokat többféle képpen adhatja meg a feladat: * számszerűen (pl. szerkesztendő háromszög, ha a=10, alpha=40˚ ...) * a síkban felvett pontokkal, ponthalmazokkal (adott szakasz, szög, pont...) * ismertnek tekintendő paraméterként (pl. szerkesztendő háromszög, ha adott a, m_a, beta) Ez utóbbi esetben a szerkesztési feladat része (lehet) a **diszkusszió**, vagyis annak vizsgálata, hogy az alapadatok mely értékei esetén hány megoldása lesz a feladatnak. Az alapadatokból kiindulva, az euklidesi szerkesztés lépéseit használva köröket, egyeneseket, esetleg szakaszokat, félegyeneseket - egyszóval //vonalakat// - vehetünk fel. Új ponthoz ezen vonalak metszéspontjaként juthatunk. Az új vonalak szerkesztéséhez a már megszerkesztett pontokat is felhasználhatjuk. Ilyen lépések véges során kell eljutnunk a feladatban kitűzött pontok megszerkesztéséig. Egy pont megszerkesztéséhez tehát két rá illeszkedő vonal megszerkesztésén keresztül vezet az út. Amikor egy //P// pont megszerkesztésének érdekében felveszünk egy rá illeszkedő vonalat, akkor rövid úgy fogalmazhatunk, hogy "van egy vonalunk //P// pont számára". ===== Szerkesztési tippek ===== === Ha van két vonalunk két különböző pont számára === {{ matematika:geometria:szerkeszt.png?300|}} Ha van két szerkeszthető vonalunk, de azok két különböző pontra illeszkednek, akkor sok esetben segíthet, ha találunk valamilyen (a már megszerkesztett pontok által meghatározott) transzformációs kapcsolatot a két pont között. Példa: Adott egy egyenlőszárú háromszög //t// szimmetriatengelye, a tengelyre eső //C// csúcs, és egy-egy egyenes, mely illeszkedik a másik két csúcsra - //e// és //f//. Van tehát két vonalunk, //e// és //f//, de két különböző pont (//A// és //B//) számára - azaz metszéspontjuk számunkra érdektelen pontot ad. Keressünk transzformációs kapcsolatot a két pont között! Mivel egyenlőszárú a háromszög, így //A// és //B// egymás tengelyes tükörképei a //t// tengelyre nézve. Ez azt jelenti, hogy ha //A// illeszkedik az //e// egyenesre, akkor //A'=B// illeszkedni fog az //e// egyenes //e'// tükörképére - ami szerkeszthető. Így most már van két vonalunk //B// pont számára (//f// és //e'//), így ezek metszéspontjaként (ha egyáltalán létezik) megkapjuk //B//-t. === Négyszögszerkesztések === Négyszögszerkesztésekhez általában öt adatra van szükségünk. Jó esetben ezek közül három egy háromszög három adata, mely így megszerkeszthető, majd a másik kettő adat a már megszerkesztett háromszög pontjaival újabb lépésekre ad lehetőséget. Gond akkor van, ha semelyik három kiindulási adat nem határoz meg háromszöget. Ekkor a négyszög egy [[matematika:geometria:negyszoeg#négyszögszerkesztések|megfelelő eltolásával]] próbálkozhatunk... ===== Nevezetes szerkesztési problémák ====== Vannak olyan nevezetes matematikai problémák, melyek sokáig megválaszolatlanul álltak a matematikusok előtt. A szerkesztések terén is találunk ilyeneket, melyekről később algebrai eszközökkel bebizonyosodott, hogy nem oldhatók meg euklideszi szerkesztési lépésekkel: * **Szögharmadolás** - Mivel a szög felezés ismert és könnyű szerkesztési feladat, azt gondolhatnánk, hogy a szögharmadolás sem lehet sokkal nehezebb. * **Kockakettőzés** - Egy adott kockánál kétszer nagyobb térfogatú kocka élének megszerkesztése. * **Kör négyszögesítés** - Lehet-e szerkeszteni körzővel és vonalzóval adott körhöz, vele egyenlő területű négyszöget? ==== Egy példa Napóleontól ==== Osszunk fel egy r sugarú kört négy egyenlő területrészre! **Kizárólag körzöt** használhatunk! **Megoldás:** Az O középpontú kör egy tetszőleges pontjából(:=A) körívezzünk a megadott sugárral a kör kerületére,így kapjuk a B,C,D pontokat!Az AC szakasz a körbe írható szabályos háromszög oldala,ezt körzőnyílásba véve,és körözve A illetve D pontokból metszéspontként kapjuk M pontot!Pit. tétellel belátható hogy az OM szakasz a körbe írható négyzet oldala,így már könnyen oszthaó a kör négy egyenlő ívre,ahonnan már csak néhány,a megadott sugárral való körzés választ el a négy területrésztől... {{:matematika:geometria:napoleon1.jpg?direct&300|}} {{ :matematika:geometria:naploleon2.jpg?direct&300|}} ===== A szerkeszthetőség kérdésköre ===== A szerkeszthetőség kérdését algebrai eszközökkel vizsgáljuk. Vegyünk fel a síkban egy derékszögű koordinátarendszert, ennek segítségével a sík pontjai és az bbR x bbR halmaz elemei között létesíthetünk kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést. **Definíció** Legyen H ⊂ bbR x bbR. Egy P ∈ bbR x bbR pontot //H//-ból euklidészi értelemben szerkeszthetőnek (a továbbiakban, ha a félreértés veszélye nem áll fönn, akkor szerkeszthetőnek, illetve körző-vonalzó pontnak) mondunk, ha létezik olyan P_1, P_2, ..., P_n = P (P_i in bbR x bbR pontsorozat, hogy forall i: P_i in H vagy P_i - két kisebb indexű pontra illeszkedő egyenes metszéspontja; - egy kisebb indexű pontokra illeszkedő egyenes és egy olyan kör metszéspontja, mely középpontja kisebb indexű pont és átmegy egy kisebb indexű ponton; - két olyan kör metszéspontja, melyek középpontja egy-egy kisebb indexű pont és illeszkednek egy-egy kisebb indexű pontra. Egy egyenest szerkeszthetőnek nevezünk, ha két pontja szerkeszthető . Egy kört szerkeszthető nek nevezünk, ha középpontja és egy pontja szerkeszthtő. **Definíció** Az x in bbR számot körzővel-vonalzóval szerkeszthetőnek mondjuk, ha (x;0) in bbR x bbR szerkeszthető. A következőkben az alaphalmazunk H = delim{lbrace}{(0;0), (1;0)}{rbrace}. {{ matematika:geometria:racionalis.png?300|racionális pontok szerkesztése}} Nyilvánvaló, hogy ekkor az egész számok mind szerkeszthetőek. Könnyen belátható, hogy szerkeszthető számokból a négy alapművelettel nyerhető számok - így tehát a racionális számok - szintén szerkeszthetőek. Végül a [[matematika:geometria:magassag_tetel]] felhasználásával belátható, hogy bármely szerkeszthető szám négyzetgyöke is szerkeszthető. Az így kapott //E// számhalmaz [[matematika:algebra:test]], melyben forall x in E, x>0: sqrt{x} in E. Az ilyen testeket //Euklidesi test//nek nevezzük. bbQ összes iteratív négyzetgyök bővítéseinek uniója megegyezik a {(0;0), (1;0)} halmazból euklidészi értelemben szerkeszthető pontok halmazával. Ez a legszűkebb euklidészi számtest. === Szabályos sokszögek szerkeszthetősége === **Tétel** (Gauss – Wantzel) Legyen //n// > 2 egész. Szabályos //n// szög akkor és csakis akkor szerkeszthető, ha //n// a következő képpen bontható prímhatványok szorzatára: n = 2^k · p_1 · p_2 ··· p_r, ahol p_1, p_2, ... p_r különböző [[matematika:algebra:Fermat-prím]]ek.