====== Háromszögek ======

A háromszög olyan [[matematika:geometria:sokszoeg]] melynek három csúcsa, illetve három oldala van.

A sík (vagy tér) három pontja mindig meghatároz egy háromszöget. Ha a három pont egy egyenesre esik, akkor **elfajuló háromszög**ről beszélünk.

A háromszögek belső szögeinek összege 180˚ (Euklideszi geometriában).
Egy háromszögben nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van.
Egy háromszög két oldalának összege mindig nagyobb a harmadik oldalnál (**háromszög-egyenlőtlenség**), másképp fogalmazva bármely két oldal különbsége kisebb a harmadik oldalnál.  Összefoglalva |//a//-//b//| < //c// < //a//+//b//.

===== Háromszögek osztályozása =====

==== Oldalak szerint ==== 

=== Egyenlőoldalú háromszög ===

Az **egyenlőoldalú háromszög** mindhárom oldala ugyanakkora. Ekkor a háromszög szögei is egyenlőek - 60˚-osak. Így az egyenlőoldalú háromszög szabályos sokszög, ezért **szabályos háromszög**nek is nevezzük.

=== Egyenlőszárú háromszög ===

**Egyenlőszárú háromszög**nek nevezzük a háromszöget, ha van két egyenlő oldala, melyeket **szár**aknak nevezünk. Ekkor a háromszög a harmadik oldal - az **alap** -  felezőmerőlegesére szimmetrikus, ezért az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek.

=== Általános háromszög ===

Ha egy háromszög nem tartozik az előző két csoportba, vagy nem tudunk semmit az oldalairól, akkor **általános háromszög**nek nevezzük.

==== Szögek szerint ====

Mivel a háromszög belső szögeinek összege 180˚, így legfeljebb egy szöge lehet derék-, vagy tompaszög. Így a háromszög legnagyobb szöge alapján a háromszögeket három csoportba sorolhatjuk:

=== Hegyesszögű háromszög ===

A háromszög **hegyesszögű**, ha minden szöge (így tehát a legnagyobb szöge is) hegyesszög, azaz kisebb 90˚-nál.

Hegyesszögű háromszögben
  * a körülírt kör középpontja a háromszög beslő pontja
  * a magaságpont a háromszög belső pontja

=== Derékszögű háromszög ===

A háromszög derékszögű, ha van 90˚-os szöge. Ez a szög ilyenkor értelemszerűen a legnagyobb szög.
A háromszög másik két szöge ilyenkor hegyesszög, ráadásul egymás [[matematika:geometria:potszoeg]]ei.

A derékszögű háromszög derékszöggel szemközti oldalát **átfogó**nak nevezzük, másik két oldala a két **befogó**.

Derékszögű háromszögekkel kapcsolatban sok nevezetes tétel és összefüggés megfogalmazható. A teljesség igénye nélkül néhány:
  * [[oktatas:matematika:geometria:pitagorasz_tetel]] és megfordítása
  * [[matematika:geometria:thales_tetel]] és megfordítása
  * [[oktatas:matematika:geometria:befogo_tetel]] és [[Magasság tétel]]

Derékszögű háromszögben

  * a körülírt kör középpontja az átfogó felezőpontja (Thales-tétel megfordítása)
  * a magasságpont a derékszögű csúcs


== Kapcsolódó fogalmak ==
  * [[oktatas:matematika:trigonometria:szoegfueggvenyek]]


=== Tompaszögű háromszög ===

A háromszög tompaszögű, ha egyik (a legnagyobb) szöge nagyobb 90˚-nál.

Tompaszögű háromszögben
  * a körülírt kör középpontja a háromszögön kívül helyezkedk el
  * a magasságpont a háromszögön kívül helyezkedik el

===== Háromszögek nevezetes vonalai és körei =====

==== Szögfelező ====

A háromszög két oldalegyenesétől egyenlő távol lévő pontok halamza a síkban két szögfelező egyenest határoz meg.

=== Belső szögfelező ===

A háromszög belső szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget két egyenlő szögre osztja. A belső szögfelező mindig elválasztja a rá nem illeszkedő két csúcsot.

A belső szögfelező háromszögön belülre eső szakaszát röviden **szögfelező**nek nevezzük. Jelölés: //f<sub>a</sub>//, //f<sub>b</sub>//, //f<sub>c</sub>//.

=== Külső szögfelező ===

A háromszög külső szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó külső szöget két egyenlő szögre osztja. A háromszög külső szögfelezőre nem illeszkedő csúcsai mindig a külső szögfelező által határolt azonos félsíkba esnek.

A külső szögfelező mindig merőleges az azonos csúcsra illeszkedő belső szögfelezőre, mert az általuk bezárt szög épp a belső és külső szög felének összege.

==== Érintő körök ====
[[http://mygren.vmg.sulinet.hu/oktatas/matematika/geogebra/geometria/beirtkor.html|{{matematika:geometria:beirtkor.png|}}]]
=== Beírtkör ===

A háromszög három belső szögfelezőjének közös metszéspontja (//O<sub>0</sub>//) a háromszög három oldalától egyenlő távolságra van, így egy olyan kör - a **beírt kör** - középpontja, mely mindhárom oldalegyenest érinti.

**Állítás:**
Az ábra jelöléseit használva:\\
//CA<sub>0</sub>=CB<sub>0</sub>=s-c//\\
//BA<sub>0</sub>=BC<sub>0</sub>=s-b//\\
//AB<sub>0</sub>=AC<sub>0</sub>=s-a//
ahol //s// a háromszög kerületének fele.

**Bizonyítás:**
Külső pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő, így //CA<sub>0</sub>=CB<sub>0</sub>//, //BA<sub>0</sub>=BC<sub>0</sub>//, illetve //AB<sub>0</sub>=AC<sub>0</sub>//, mert ezek rendre a beírtkör //C//-ből, //B//-ből illetve //A// húzott érintő-szakaszai.

Írjuk fel most a a háromszög kerületét:
//k=a+b+c=
(BA<sub>0</sub>+A<sub>0</sub>C)+(CB<sub>0</sub>+B<sub>0</sub>A)+(AC<sub>0</sub>+C<sub>0</sub>B)=
(C<sub>0</sub>B+BA<sub>0</sub>)+(A<sub>0</sub>C+CB<sub>0</sub>)+(B<sub>0</sub>A+AC<sub>0</sub>)=
=2AB<sub>0</sub>+2BC<sub>0</sub>+2CA<sub>0</sub>//

Ebből: //s=AB<sub>0</sub>+BC<sub>0</sub>+CA<sub>0</sub>//

Ezt rendezve:\\
//AB<sub>0</sub>=s-(BC<sub>0</sub>+CA<sub>0</sub>)=s-(BA<sub>0</sub>+CA<sub>0</sub>)=s-a//\\
//BC<sub>0</sub>=s-(AB<sub>0</sub>+CA<sub>0</sub>)=s-(AB<sub>0</sub>+CB<sub>0</sub>)=s-b//\\
//CA<sub>0</sub>=s-(AB<sub>0</sub>+BC<sub>0</sub>)=s-(AC<sub>0</sub>+BC<sub>0</sub>)=s-c//

**Tétel:**
A háromszög területe //t=sr<sub>0</sub>//, ahol //s// a háromszög kerületének fele és //r<sub>0</sub>// a beírtkör sugara.

**Bizonyítás:**
//T<sub>ABC</sub>=T<sub>ABO</sub>+T<sub>BCO</sub>+T<sub>CAO</sub>=
cr<sub>0</sub>/2+ar<sub>0</sub>/2+br<sub>0</sub>/2=r<sub>0</sub>(a+b+c)/2=
r<sub>0</sub>s//

=== Hozzáírt körök ===

==== Magasság, Magasságvonal, Magasságpont ====

=== Magasság ===

A háromszög csúcsának szemközti oldaltól való távolságát a háromszög **magasság**ának nevezzük. Másképp fogalmazva a magasság a csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges //szakasz//.

A háromszög magasságának segítségével fejezzük ki leggyakrabban a háromszög területét.

A magasságok talppontjait jelölje a továbbiakban rendre <m>M_a</m>, <m>M_b</m> és <m>M_c</m>.

=== Magasságvonal ===

A háromszög csúcsából a szemközti oldal egyenesére állított merőleges //egyenest// **magasságvonal**nak nevezzük.

**Tétel**
A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást.

**Bizonyítás**
Húzzunk párhuzamosokat a háromszög csúcsain át a szemközti oldalakkal, a keletkező metszéspontokat jelölje rendre //A'//, //B'//, //C'//.
Ekkor //CABA'//, //ABCB'// és //BCAC'// négyszögek paralelogrammák, mert szemközti oldalaik párhuzamosak. Ezért //AB//=//CA'//=//CB'//, //BC//=//AB'//=//AC'// és //CA//=//BC'//=//BA'//,
tehát az eredeti háromszög csúcsai a vesszős háromszög oldalfelező pontjai. 
Ez viszont azt jelenti, hogy az eredeti háromszög magasságai a vesszős háromszög oldalfelező merőlegesei, amikről tudjuk, hogy egy pontban metszik egymást.

=== Magasságpont ===

A magasságvonalak közös metszéspontját **magasságpont**nak (//M//) nevezzük.

=== A talpponti háromszög ===

A magaságtalppontok által meghatározott háromszöget **talpponti háromszög**nek nevezzük.
Az eredeti háromszög magasságvonalai a talpontti háromszög szögfelezői, az eredeti háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírható- vagy egyik hozzáírható körének középpontja (hegyesszögű ill. topaszögű eset)

Hegyesszögű háromszög esetén a háromszögbe írható háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb.


===== Csoportosításuk szögek szerint =====
==== Hegyesszögű háromszög ====

==== Derékszögű háromszög ====


==== Tompaszögű háromszög ====

===== Csoportosításuk az oldalak hossza szerint =====

==== Egyenlőszárú háromszög ====

==== Szabályos háromszög ====


===== Feladatok =====

  * [[oktatas:matematika:feladatok:geometria:szerkesztesek|Szerkesztési feladatok]]