====== Számelmélet feladatok ======
===== Elméleti kérdések =====
- Mikor mondjuk, hogy a és b relatív prímek?
- Igaz-e, hogy ha a|c és b|c Þ ab|c?
- Hogyan határozható meg két szám legkisebb közös többszöröse, illetve legnagyobb közös osztója, ha ismerjük a két szám prímtényezős felbontását?
- Hogy ismerhető fel egy szám prímtényezős felbontásából, hogy a szám négyzetszám?
- Mit mond ki a számelmélet alaptétele?
Melyek azok a természetes számok (soroljunk fel néhányat), amelyeknek
* nincs osztójuk
* pontosan egy osztójuk van
* pontosan két osztójuk van
* nincs valódi osztójuk
* csak valódi osztójuk van
* pontosan három osztójuk van?
===== Oszthatósági szabályok =====
* Fogalmazd meg a 2-vel, 3-mal, 4-gyel és 5-tel való oszthatóság szabályát! Pótold a hiányzó számjegyeket, hogy az számok oszthatóak legyenek 6-tal, 12-vel, 15-tel!
- 34□
- 92□5
- 4□3△
- 4□△2
* Milyen számjegy írható x és y helyébe, ha
- 45 | 135x2y
- 12 | 5x327y
* Az 1, 3, 4, 5 és még egy számjegy segítségével írjuk fel a legnagyobb, ötjegyű, 12-vel osztható számot!
===== Osztók száma =====
*- Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek pontosan
- 18 osztója van?
- 7 osztója van?
- 6 osztója van?
* Melyik az a legkisebb pozitív egész szám melynek osztója a 6, és hat osztója van?
===== Maradékos osztás =====
* Tudjuk, hogy 37-nek az 5-ös maradéka 2, azaz 27=7·5+2. Írd fel hasonló alakban a következő számpárok maradékos osztását!
- 68; 7
- 75;15
- 135;10
- 2897;1001
===== Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös =====
* Keressük meg a következő számok legnagyobb közös osztóját!
- 475; 570
- 1008; 2835
- 7395; 9860
- 1517; 1739
- 3417; 4757
- 3150; 1080
* Határozzuk meg a 60, 72, 108 és 396 legkisebb közös többszörösét!
===== Diofantikus egyenletek =====
* Öt darab egymás utáni pozitív egész szám közül az első három négyzetének összege egyenlő az utolsó kettő négyzetének összegével. Melyek ezek a számok?
* Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalai egész számok, akkor nem lehet mindkét befogója páratlan.
* Egy tepsi süteményt szeretnénk feldarabolni a téglalap alakú tepsi oldalaival párhuzamos vágásokkal úgy, hogy szeletelés után a tepsi szélével érintkező darabok száma egyenlő legyen a tepsi szélével nem érintkező darabok számával.
* 3x+7x=13
* Egy szigeten 7 és 11 fejű sárkányok élnek. Hány sárkány él a szigeten, ha összesen 118 fejük van?
* Bolondóciában csak 9 és 24 forintos pénzérmék vannak. Hányféleképpen lehet pontosan 70 forintot kifizetni?
* Határozzuk meg a 6x+8x=10 egyenes egész koordinátájú pontjait!
* 7x+10y+15z=6 (segítség: 7x+5(2y+3z)=7x+5p=6 ...)
* Melyek azok az egész számpárok, melyek összege egyenlő a szorzatukkal (xy = x+y)?
* 2x^2+xy-7=0
* Egy sakkversenyen két hetedik osztályos és néhány nyolcadik osztályos tanuló vett részt. Minden résztvevő mindenkivel egy mérkőzést játszott. A két hetedik osztályos együtt szerzett 8 pontot, a nyolcadikosok pedig mindnyájan egyenlő pontszámot szereztek (győzelem 1, döntetlen 0,5 pont). Hány nyolcadikos vett részt a versenyen?
===== Vegyes feladatok =====
* Mely egész n értékek esetén lesz az alábbi tört is egész szám?
- {2n -3}/{n+5}
- {1 - 5n}/{n - 2}
- {2n+1}/{n+3}
- {4n-1}/{2n+3}
* Az első 10 pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét a „fáraó számának” is nevezik, mert egy egyiptomi piramis sírkamrájának falán találták hieroglifákkal leírva. Melyik ez a szám?
* Az osztály tanulóit egyforma létszámú csoportokra akarják osztani. Akár négyesével, akár ötösével alkotnak csoportokat, kimarad egy tanuló. Legkevesebb hány tanuló járhat az osztályba?
* Mutassuk meg, hogy bármely páratlan szám négyzetéből egyet elvéve, 8-cal osztható számot kapunk!
* Bizonyítsd be
- 3 | 151640+20250+40060
- 5 | 20012007+20022006
* Van-e olyan négyzetszám, amelyik 40-re végződik?
* Bizonyítsuk be, hogy minden n>=1 természetes számra 6 osztója n^3+5n-nek!