====== Számelmélet feladatok ====== ===== Elméleti kérdések ===== - Mikor mondjuk, hogy a és b relatív prímek? - Igaz-e, hogy ha a|c és b|c Þ ab|c? - Hogyan határozható meg két szám legkisebb közös többszöröse, illetve legnagyobb közös osztója, ha ismerjük a két szám prímtényezős felbontását? - Hogy ismerhető fel egy szám prímtényezős felbontásából, hogy a szám négyzetszám? - Mit mond ki a számelmélet alaptétele? Melyek azok a természetes számok (soroljunk fel néhányat), amelyeknek * nincs osztójuk * pontosan egy osztójuk van * pontosan két osztójuk van * nincs valódi osztójuk * csak valódi osztójuk van * pontosan három osztójuk van? ===== Oszthatósági szabályok ===== * Fogalmazd meg a 2-vel, 3-mal, 4-gyel és 5-tel való oszthatóság szabályát! Pótold a hiányzó számjegyeket, hogy az számok oszthatóak legyenek 6-tal, 12-vel, 15-tel! - 34□ - 92□5 - 4□3△ - 4□△2 * Milyen számjegy írható x és y helyébe, ha - 45 | 135x2y - 12 | 5x327y * Az 1, 3, 4, 5 és még egy számjegy segítségével írjuk fel a legnagyobb, ötjegyű, 12-vel osztható számot! ===== Osztók száma ===== *- Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek pontosan - 18 osztója van? - 7 osztója van? - 6 osztója van? * Melyik az a legkisebb pozitív egész szám melynek osztója a 6, és hat osztója van? ===== Maradékos osztás ===== * Tudjuk, hogy 37-nek az 5-ös maradéka 2, azaz 27=7·5+2. Írd fel hasonló alakban a következő számpárok maradékos osztását! - 68; 7 - 75;15 - 135;10 - 2897;1001 ===== Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös ===== * Keressük meg a következő számok legnagyobb közös osztóját! - 475; 570 - 1008; 2835 - 7395; 9860 - 1517; 1739 - 3417; 4757 - 3150; 1080 * Határozzuk meg a 60, 72, 108 és 396 legkisebb közös többszörösét! ===== Diofantikus egyenletek ===== * Öt darab egymás utáni pozitív egész szám közül az első három négyzetének összege egyenlő az utolsó kettő négyzetének összegével. Melyek ezek a számok? * Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalai egész számok, akkor nem lehet mindkét befogója páratlan. * Egy tepsi süteményt szeretnénk feldarabolni a téglalap alakú tepsi oldalaival párhuzamos vágásokkal úgy, hogy szeletelés után a tepsi szélével érintkező darabok száma egyenlő legyen a tepsi szélével nem érintkező darabok számával. * 3x+7x=13 * Egy szigeten 7 és 11 fejű sárkányok élnek. Hány sárkány él a szigeten, ha összesen 118 fejük van? * Bolondóciában csak 9 és 24 forintos pénzérmék vannak. Hányféleképpen lehet pontosan 70 forintot kifizetni? * Határozzuk meg a 6x+8x=10 egyenes egész koordinátájú pontjait! * 7x+10y+15z=6 (segítség: 7x+5(2y+3z)=7x+5p=6 ...) * Melyek azok az egész számpárok, melyek összege egyenlő a szorzatukkal (xy = x+y)? * 2x^2+xy-7=0 * Egy sakkversenyen két hetedik osztályos és néhány nyolcadik osztályos tanuló vett részt. Minden résztvevő mindenkivel egy mérkőzést játszott. A két hetedik osztályos együtt szerzett 8 pontot, a nyolcadikosok pedig mindnyájan egyenlő pontszámot szereztek (győzelem 1, döntetlen 0,5 pont). Hány nyolcadikos vett részt a versenyen? ===== Vegyes feladatok ===== * Mely egész n értékek esetén lesz az alábbi tört is egész szám? - {2n -3}/{n+5} - {1 - 5n}/{n - 2} - {2n+1}/{n+3} - {4n-1}/{2n+3} * Az első 10 pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét a „fáraó számának” is nevezik, mert egy egyiptomi piramis sírkamrájának falán találták hieroglifákkal leírva. Melyik ez a szám? * Az osztály tanulóit egyforma létszámú csoportokra akarják osztani. Akár négyesével, akár ötösével alkotnak csoportokat, kimarad egy tanuló. Legkevesebb hány tanuló járhat az osztályba? * Mutassuk meg, hogy bármely páratlan szám négyzetéből egyet elvéve, 8-cal osztható számot kapunk! * Bizonyítsd be - 3 | 151640+20250+40060 - 5 | 20012007+20022006 * Van-e olyan négyzetszám, amelyik 40-re végződik? * Bizonyítsuk be, hogy minden n>=1 természetes számra 6 osztója n^3+5n-nek!