====== Thalész-kör ======

==== Bizonyítási feladatok ====

  - Az //ABC// háromszög //A//-ból illetve //B//-ből induló magasságának talppontjai <m>T_a</m> illetve <m>T_b</m>. Mutassuk meg, hogy a <m>T_a</m><m>T_b</m> felezőmerőlegese felezi az //AB// oldalt.
  - Bizonyítsuk be, hogy a háromszög két magasságának talppontja egyenlő távol van a harmadik oldal felezőpontjától.
  - * Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű gáromszög átfogója kétszer akkora, mint az átfogóhoz tartozó súlyvonal.
  - Mutassuk meg, hogy egy háromszög három oldalfelező pontja és az egyik magasságtalpponjta húrtrapézt vagy egyenlőszárú háromszöget határoznak meg.
  - * Rajzoljuk meg valamely kör //AB// átmérőjét, //AC// húrjá, és a húr meghosszabbítására mérjük fel a //CD//=//AC// szakaszt. Igazoljuk, hogy az //ABD// háromszög egyenlőszárú.
  - Egy körön kívüli //P// ponthoz szerkesszünk a körön olyan //M// pontot, amelynek //P//-től mért távolsága a kör átmérőjével egyenlő. Az //M//-en átmenő körátmérő másik végpontja //N//. Bizonyítsuk be, hogy a //PN// szakasz felezőpontja a körön van.
  - Írjunk kört az egyenlőszárú háromszög egyik szára mint átmérő fölé. Bizonyítsuk be, hogy ez a kör felezi a háromszög alapját.
  - * Szerkesszünk kört egy egyenlő oldalú háromszög magassága mint átmérő fölé. Igazoljuk, hogy a másik két oldalának a negyedrésze esik a körön kívül.
  - Mutassuk meg, hogy egy háromszög oldalai mint átmérők fölé szerkesztett kérék közös húregyenesei egy pontban metszik egymást.
  - Szerkesszünk Thalész-kört a háromszög magasságpontja és és egyik csúcsa által meghatározott szakasz fölé. Hol metszi ez a kör a háromszög két oldalát?
  - * Két érintkező kör egyikében egy, az érintési pontra nem illeszkedő átmérő két végpontjait kössük össze az érintési ponttal. Mutassuk meg, hogy ezek az egyenesek a másik körből egy átmérő végpontjait metszik ki.
  - * Kössük össze a háromszög köré írt kör középpontját az egyik csúccsal, és rajzoljunk kört az összekötő szakasz mint átmérő fölé. Bizonyítsuk be, hogy az így szerkesztett kör átmegy két oldal felezőpontján.
  - Két egymást metsző kör egyik közös pontjából húzzuk meg mindkettőben az átmérőt. Bizonyítsuk be, hogy az átmrők végpontjait összekötő egyenes átmegy a körök másik közös pontján.
  - * Egy kör valamely húrjának egyik végpontját kössük össze a kör középpontjával. Bizonyítsuk be, hogy az így kapot sugár Thalész-köre felezi a húrt.

==== Mértani helyek ====
  - Egy //d// hosszúságú szakasz két végpontja egy derékszög egy-egy szárán mozog. Mit ír le a szakasz felezőpontja?
  - Adott a síkon két pont, //T// és //P//. A //T//-re illeszkedő //e// egyenest forgassuk //T// körül, és minden helyzetébenállítsunk rá merőlegest a //P// pontból. Határozzuk meg az így kapott merőlegesek talppontjai által alkotott ponthalmazt.
  - Egy rombusz alakú keret csuklósan összeszerelt pálcákból áll. Az egyik oldalt rögzítjük. Milyen ponthalmazt alkotnak az átlók metszéspontjai, ha a többi oldalt mozgatjuk?
  - * Megrajzolunk egy kört, és kijelölünk egy pontot (belül vagy kívül). Adjuk meg a kijelölt ponton áthaladó húrok felezőpontjainak halmazát.
  - * Egy háromszögnek rögzítsük két csúcsát. A harmadik csúcs befutja a sík összes pontját. Adjuk meg az így kapott háromszögek másik két oldalegyenesén levő magasságtalppontok halmazát.

==== Szerkesztési feladatok ====
  - Szerkesszünk háromszöget, ha adott két magasságtalppontja és a harmadik oldal egyenese.
  - Adott egy egyenes és egy rá nem illeszkedő szakasz. Szerkesszünk olyan derékszögű háromszöget, amelynek derékszögű csúcsa az egyenesen van, átfogólya pedig az adott szakasz.
  - Tűzzünk ki két pontot, és vegyünk fel egy távolságot. Szerkesszünk két párhuzamost, melyek egy-egyx kitűzött ponton mennek át, és távolságuk akkora, mint a felvett szakasz.
  - Szerkesszük meg az //ABC// háromszöget, ha adott a //BC// oldal felezőpontja, a //B// csúcsból induló magasság talppontja, valamint a //C// csúcs és az //M// magasságpont közötti szakasz felezőpontja.
  - Szerkesszük meg az //ABCD// téglalapot, ha ismert az //AB// oldalegyenesének //P//, a //BC// oldalegyenesének //Q//, a //CD// oldalegyenesének //R//, a //DA// oldalegyenesének //S// pontja, és az //AB// oldal hossza.