====== Sorozatok ======

**Definíció:**
A pozitív egész számok halmazán értelmezett valós [[függvények]]et számsorozatoknak, vagy röviden **sorozat**oknak nevezzük.

//Másképp:// a sorozat olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok részhalmaza.\\
Formálisan:
<m>bbN^+ right bbR</m>


===== A sorozatok megadása =====

==== Rekurzív módon ==== 
Előnye, hogy gyakran könnyebben megfogalmazható a sorozat képzési szabálya ilyen módon.\\
Hátránya, hogy egy elem meghatározásához ismerni kell az őt megelőző tagok értékét is.

**Például:** <m>a_1=2 és a_n=a_{n-1}+2</m>
==== Általános taggal ====

**Például:** <m>a_n={n-1}/n^2</m>

===== Sorozatok tulajdonságai =====

==== Korlátosság ====
**Definíció:** Az {<m>a_n</m>} sorozat **felülről korlátos**, ha létezik olyan //K// szám, hogy <m>a_n<=K</m> minden //n// pozitív egész számra. Ekkor a //K// számott a sorozat egy felső korlátjának nevezzük.

Az {<m>a_n</m>} sorozat **alulról korlátos**, ha létezik olyan //k// szám, hogy <m>k<=a_n</m> minden //n// pozitív egész indexre. Ekkor a //k//-t a sorozat egy alsó korlátjának nevezzük.

Az {<m>a_n</m>} sorozat **korlátos**, ha alulról és felülről is korlátos.

**Tétel:**
Ha az <m>(delim{|}{a_n}{|})</m> sorozat korlátos, akkor az <m>(a_n)</m> sorozat is korlátos.
...

==== Monotonítás ====
<m 10>Def.</m> Az <m 10>(a_n)</m> numerikus sorozat monoton növekedő, ha <m>forall n in bbZ^+: a_n<=a_{n+1}</m>

<m 10>Def.</m> Az <m 10>(a_n)</m> numerikus sorozat szigorúan monoton növekedő, ha <m>forall n in bbZ^+: a_n<a_{n+1}</m>


==== Konvergencia ====

<m 10>Def_1</m> Az <m 10>(a_n)</m> sorozat **konvergens**, ha <m>exists A in bbR : forall varepsilon>0, e in bbR</m>-hoz találhatunk olyan pozitív egész küszöbindexet(<m>n_varepsilon</m>), amelytől kezdve (<m>n>n_varepsilon</m>) <m>|a_n - A|<e</m>.

<m 10>Def_2</m> Az <m 10>(a_n)</m> sorozat **konvergens**, ha <m>exists A in bbR</m>, hogy A bármely kis környezetébe, a sorozatnak véges sok elem kivételével minden eleme beletartozik.

<m 10>Tétel</m> Egy konvergens sorozatnak létezik véges (A) [[határérték]]e.

<m 10>Def.</m> A nem konvergens sorozatot **divergens**nek nevezzük.

sorozat lehet
  * konvergens
  * végtelenbe divergáló
  * oszcillálva divergens

Torlódási pont és a konvergencia:

DEF. torlódási pont...

<m 10>Tétel</m> A sorozat pontosan akkor konvergens, ha egy torlódási pontja van.

=== Konvergencia kritériumok ===
A sorozatok konvergenciájának eldöntése a szemléletes definíció alapján is eléggé nehézkes, így hasznunkra válhat néhány jól kezelhető tétel.

__Konvergencia szükséges feltétele__: Ha a sorozat konvergens, akkor korlátos.

példa a tétel elégséges feltételként való **hibás** használatára: az <m>(-1)^n</m> sorozat korlátos, de nem konvergens.

__Konvergencia elégséges feltétele__: Ha a sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.

__Konvergencia szükséges és elégséges feltételei__:

  - ha pontosan egy torlódási pontja van a sorozatnak.
  - Cauchy-féle konvergencia kritérium szerint, ha a sorozat elemei egymáshoz közel vannak.

Cauchy-féle konvergencia kritérium: Az <m 10>(a_n)</m> sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha <m>forall varepsilon>0</m>-hoz <m>exists n_varepsilon in bbZ^+</m> szám, amelyre teljesül, hogy ha <m>n,m>n_varepsilon</m>, akkor <m>|a_n-a_m|<varepsilon</m>.

Példa: <m>a_1=1; a_2=2; a_n={a_{n-2}+a_{n-1}}/2</m> sorozat korlátos, nem monoton, de Cauchy-szerint konvergens.

===== Részsorozat =====
**Definíció:**
Adott egy //(a<sub>n</sub>)// sorozat és egy //(b<sub>n</sub>)// szigorúan
monoton növekedő pozitív egész tagú (akár véges) sorozat.
Ekkor az <m>(a_{b_n})</m> sorozat az //(a<sub>n</sub>)// egy **részsorozata**.

**Tétel:**
Korlátos sorozatból mindig kiválasztható [[határérték#sorozatok határértéke|konvergens]] részsorozat.\\
**Bizonyítás:**
Ha //(a<sub>n</sub>)// véges, akkor valamelyik eleme végtelen sokszor szerepel. Ezek a tagok konvergens részsorozatot alkotnak.
...

**Tétel:**
Egy konvergens sorozat bármely végtelen részsorozata [[határérték#sorozatok határértéke|konvergens]], és az eredeti sorozat határértékéhez tart.
**Bizonyítás:**
...


===== Nevezetes sorozatok =====

==== Számtani sorozatok ====
**Definíció:**
Bármely tag és az őt megelőző különbsége állandó. Ezt a különbséget //d//-vel szokás jelölni (differencia).

  * Név eredete:[[matematika:algebra:számtani közép]] - ( <m>a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2</m>)


==== Mértani sorozatok ====
**Definíció:**
Az olyan számsorozatot nevezzük mértani sorozatnak, amelyben bármelyik tagnak és az őt megelőzőnek a hányadosa állandó. Ezt a hányadost //q//-val szokás jelölni (quociens).

  * Név eredete: [[matematika:algebra:mértani közép]] - ( <m>a_n=sqrt{a_{n-1}*a_{n+1}}</m> )



==== Fibonacci-féle sorozat ====
  * Megadása: <m>a_1 = 1</m> \\ <m>a_2 = 1</m> \\ <m>a_n = a_{n-2}+a_{n-1}</m>
  * Sok érdekesség van vele...
  * Pl: a pascal-háromszög bizonyos átlói Fibonacci sorozatok

Érdekes megjegyezni, hogy létezik zárt alakja is ([[matematika:analizis:binet-formula]]).

<m 10>F_n= {(1+sqrt(5))^n - (1-sqrt(5))^n}/{sqrt(5)cdot 2^n}</m>

Az informatikában a rekurzív-algoritmusok egyszerű, ám annál számításigényesebb megoldást adnak, így ha lehet elkerüljük alkalmazásukat. A Binet-formula sem a legjobb megoldás, mert ez esetben viszont a lebegőpontos ábrázolás pontatlanságának probémájába ütközünk. (Keresd: Gyors-hatványozás algoritmusa.)

====== Hivatkozások ======
[[matematika:analizis:sorok]]