====== Az integrálszámítás ======

Az integrálszámítás a matematikai analízis egyik alapja. Maga a kifejezés ("integrál") két - alapvetően különböző, bár egymáshoz matematikai tételek útján szorosan kapcsolódó - fogalomra utalhat: határozott integrál és határozatlan integrál (más néven antiderivált, azaz a deriválás inverzművelete).




===== Történelmi áttekintés =====

A határozott integrálszámítás alapvető gondolata már a híres, i.e.1800 körül keletkezett Moszkvai Tekercsen is megtalálható (csonkakúpok és csonkagúlák térfogatainak számolása). A módszer fejlettebb változatával találkozhatunk az ókori görögöknél (pl. Eudoxus); Archimédész volt az első, aki az ún. infinitezimálokat (végtelenül kicsi mennyiségeket) explicite használta, és ezzel jelentős eredményeket is ért el (parabola területe, kör területének közelítése). Meg kell említeni azonban, hogy ő maga sem tartotta egzaktnak saját - ezen a módszeren alapuló - bizonyításait.

A differenciál- és integrálszámítás (rövidebb nevén a kalkulus) alapvető elméletét Newton és Leibniz rakta le a 17. sz. második felében. Az elmélet legfontosabb része a két fogalom viszonylag pontos (bár nem kifogástalan) definiálása, a jelölésrendszer kialakítása (főleg Leibniz nyomán) és a Newton-Leibniz tétel (mely egységgé kovácsolja a két fogalmat) volt.

Bár az újonnan kialakuló kalkulus számos problémát könnyebben kezelhetővé tett, elméleti megalapozottsága megkérdőjelezhető volt, ezért sok támadás is érte (pl. Berkley püspök híres mondása az infinitezimálokról). A 19. sz. közepe táján indult meg a "szigorúság forradalma" (Lakatos Imre nyomén használva a kifejezést), szilárd alapokra helyezték a határérték fogalmát és ezáltal a kalkulust is; Cauchy, Weierstrass, Bolzano és Riemann nevét érdemes megjegyezni.

A 20. sz. elején a matematikai fogalmak legtöbbje az előzőekhez képest sokkal általánosabb megfogalmazást nyert (pl. függvény), így az integrálszámításra is új, általánosabb, formális definíciók születtek.











===== Határozatlan integrál =====

<m>tabular{11}{11}{Definíció:}</m> Legyen <m>f</m> értelmezve [a,b] intervallumon. Ha létezik <m>f</m> -hez olyan [a,b]-n értelmezett <m>F</m> függvény, hogy <m>F^,(x)=f(x) forall  x</m> -re (ahol <m>F^,(x) f</m> deriváltját jelenti), akkor azt mondjuk, hogy <m>F</m> az <m>f</m> primitív függvénye.

Ha egy függvénynek létezik primitív függvénye, akkor végtelen sok létezik. Legyen <m>F_1</m> az <m>f</m> függvény primitív függvénye. Tekintsük az <m>F_2=F_1 + C</m> függvényt, ahol <m>C in bbR</m>. <m>F_2</m> deriváltja ekkor megegyezik <m>F_1</m> deriváltjával, mivel konstans deriváltja nulla, ezért <m>F_2</m> is primitív függvénye az <m>f</m> -nek.

<m>tabular{11}{11}{Definíció:}</m> Az <m>f</m> primitív függvényeinek a halmazát az <m>f</m> határozatlan integráljának nevezzük, jelölése: <m>int{}{}{f(x) dx}</m>

==== Határozatlan integrál tulajdonságai====

  * <m>int{}{}{c cdot f(x) dx}=c cdot int{}{}{f(x) dx}</m>, ha <m>c</m> egy tetszőleges konstans, azaz konstans kiemelhető az integrál elé.
  * <m>int{}{}{f(x) + g(x) dx} = F(x) + G(x)</m>, ha <m>F(x)</m> és <m>G(x)</m> <m>f(x)</m> és <m>g(x)</m> primitív függvényei, azaz összeg tagonként integrálható.

===== Határozott integrál =====







==== Alsó és felső közelítő összeg ====

Legyen adott egy [a,b]-n értelmezett korlátos, pozitív függvény. Tekintsük [a,b] egy beosztását: <m> a=x_0 < x_1 < x_2 < cdots < x_{i-1} < x_i < cdots < x_n = b </m>. Az ehhez a beosztáshoz tartozó alsó közelítő összeg: \\ <m> s_n = m_1(x_1-x_0) + m_2(x_2-x_1) + cdots + m_{n}(x_n - x_{n-1}) = sum{i=1}{n}{m_i(x_i-x_{i-1})} </m> \\ Itt <m>m_i</m> jelenti az <m>f</m> függvény alsó határát az <m>[x_i-x_{i-1}]</m> intervallumon (az i index 1-től n-ig vesz fel értékeket)
\\ A fenti beosztáshoz tartozó felső közelítő összeg pedig: \\ <m> S_n = M_1(x_1-x_0) + M_2(x_2-x_1) + cdots + M_n (x_n - x_{n-1}) = sum{i=1}{n}{M_i(x_i-x_{i-1})} </m> \\ Itt <m>M_i</m> jelenti az <m>f</m> függvény felső határát az <m>[x_i-x_{i-1}]</m> intervallumon.
\\ __//Fontos//__: nem kötöttük ki, hogy a részintervallumok hossza egyenlő.




 ==== A Riemann-integrál ====

<m>tabular{11}{11}{Definíció:}</m> Az [a,b] intervallumon értelmezett korlátos <m>f</m> függvényt integrálhatónak nevezzük, ha egyetlen olyan szám létezik, amely az <m>f</m> függvény egyetlen alsó közelítő összegénél sem kisebb és egyetlen felső közelítő összegénél sem nagyobb. Ezt a számot az <m>f</m> függvény [a,b]-n vett határozott integráljának nevezzük. Jelölése: <m>int{a}{b}{f(x) dx}</m>

\\ //Megjegyzés//: az itt közölt definíció valójában a Darboux-integrál. A Riemann-integrál akkor és csak akkor létezik, ha a Darboux-integrál létezik, és értékük megegyezik, tehát nagy különbség nincs.

\\ A fenti definícióból következik, hogy az [a,b] intervallumon értelmezett korlátos <m>f</m> függvény akkor és csak akkor integrálható, ha <m>forall epsilon > 0</m> -hoz <m>∃</m> olyan beosztás, melyre <m>S_n - s_n < epsilon</m>

<m>tabular{11}{11}{Tétel:}</m> Ha az <m>f</m> függvény monoton [a,b] intervallumon, akkor ott integrálható.