======Monotonitás======

f: A→B függvény **szigorúan monoton növekvő** A-n, ha ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>∈A és x<sub>1</sub><x<sub>2</sub> esetén f(x<sub>1</sub>)<f(x<sub>2</sub>).

f: A→B függvény **monoton növekvő** A-n, ha ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>∈A és x<sub>1</sub><x<sub>2</sub> esetén f(x<sub>1</sub>)≤f(x<sub>2</sub>).

f: A→B függvény **szigorúan monoton csökkenő** A-n, ha ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>∈A és x<sub>1</sub><x<sub>2</sub> esetén f(x<sub>1</sub>)>f(x<sub>2</sub>).

f: A→B függvény **monoton csökkenő** A-n, ha ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>∈A és x<sub>1</sub><x<sub>2</sub> esetén f(x<sub>1</sub>)≥f(x<sub>2</sub>).

=== Monotonitás és az első derivált ===

//EZ A SZAKASZ MÉG CSONK!//

Ha f fv. értelmezett az ]a;b[ nyílt intervallumon és ott differenciálható, továbbá az intervallumon belül minden x-re az első derivált >= 0, akkor a függvény **monoton növő**.

megjegyzés: ha f értelmezett az intervallum szélein (a,b) és f folytonos a zárt [a;b]-n, akkor f a zárt [a,b]-n is monoton növő.

Ha f fv. értelmezett az ]a;b[ nyílt intervallumon és ott differenciálható, továbbá az intervallumon belül minden x-re az első derivált > 0, akkor a függvény **szigorúan monoton növő**.

megjegyzés: ha egy függvény deriváltja diszkrét pontokban 0 és máshol pozitív, akkor még a szigorúság fennáll. (pl. x^3, x+sinx) De ha egy intervallumon nulla, akkor nem.

Ha f értelmezett x_0 egy környezetében és diffható x_0-ban, és x_0-ban szélsőértéke van, akkor a derivált x_0-ban 0. [szükséges feltétel]

megjegyzés: ahol nem deriválható, ott még lehet szélsőértéke!

<m 10>Tétel</m>: Ha f értelmezett és diffható x_0 egy környezetében és f'(x_0)=0 és f' az x_0 helyen előjelet vált, akkor f-nek x_0-ban szélsőértékhelye van. Mégpedig ha - -> + akkor minimuma, ha + -> - akkor maximuma. [ez a gyakorlatban leginkább használt tétel]

<m 10>Tétel</m>: Ha f kétszer diffható x_0-ban és f'(x_0)=0 és f''(x_0)!=0, akkor f-nek x_0-ban szélsőértéke van, mégpedig ha f"(x_0)>0 akkor minimuma, különben maximuma.

A a második deriválás nem vezet eredményre (0), akkor addig deriváljuk, míg x_0-ban nem nulla lesz. Ekkor igazak a következők:
  * ha páros fokszámú derivált nem nulla, akkor szélsőértéke van
    * ha ez pozitív, akkor minimuma,
    * ha ez negatív, akkor maximuma van
  * ha páratlan, akkor nincs szélsőértéke.

[ezek tétel formájában is megfogalmazhatók...]