''EZ A CIKK CSONK!''

====== Az integrálszámítás alkalmazásai ======
===== Területszámítás ======

==== függvénygörbe alatti terület ====

A [[Riemann-integrál]] <m 10>T=int{a}{b}{f(x)dx}</m> szemléletesen az <m>[a,b]</m> intervallumon integrálható függvénygörbe alatti előjeles területet adja értékül. Ezt felhasználva tetszőleges függvénygörbe alatti terület a következőként számolhatjuk:
  - keressük meg a zérushelyeket (<m 10>z_1,z_2 ... z_n</m>)
  - a zérushelyek mentén részintervallumokra osztjuk a függvényt, majd
  - vegyük a függvény ezen intervallumokon vett határozott intrgáljának abszolutértékének összegét.

{{matematika:analizis:matfv2.png|}}

Ekkor: <m>T=delim{|}{int{a}{z_1}{f(x)dx}}{|} + delim{|}{int{z_1}{z_2}{f(x)dx}}{|} + 
cdots + delim{|}{int{z_n}{b}{f(x)dx}}{|}</m>

Felhasználtuk, hogy <m 10>int{a}{b}{f(x)dx} = int{a}{c}{f(x)dx} + int{c}{b}{f(x)dx}</m> feltéve, hogy <m>a<c<b</m>.







==== függvénygörbék közti terület ====
{{matematika:analizis:fgmat.png|}}

Az előző meggondolást követve, a két függvénygörbe alatti területének a különbsége adja az előjeles területértéket. Az ábrán ''[a;z]'' intervallumon bejelölt első részterület tehát így számolható:
<m 10>T_1=int{a}{z}{g(x)dx}-int{a}{z}{f(x)dx}</m>, ami az integrálás tulajdonságai miatt: 
<m 10>T_1=int{a}{z}{g(x)-f(x)dx}</m>

Szemléletes meggondolásra szorul azonban két eset:

  - Melyik függvénygörbe alatti terület a nagyobb? (Miből kell kivonni mit? <m 10>T_2</m>)
  - Mi történik, ha a görbe metszi az x-tengelyt, netán az egész a negatív félsíkba esik?

Az első esetből adodó negatív-terület problémát könnyen kiszűrjük, ha vesszük az adódott területek különbségének abszolutértékét (mint az előbb). A második felvetés is könnyen megoldható, hiszen egészen biztosan véges értékeket vesz fel a függvény (a feltétel szerint [[matematika:analizis:riemann-integralhato]]), így (a [[függvények#folytonosság|függvények folytonosságára]] kimondott [[matematika:analizis:weierstrass-tetel]] szerint) felveszi minimumát és maximumát. Ha a két függvény legkisebb felvett értékénél nagyobb mértékben pozitív irányban y tengelyen eltoljuk (hozzáadunk c-t), pozitív értékű függvénygörbéket kapunk. Ezt az integrálás tulajdonságai miatt megtehetjük: <m 10>int{a}{b}{(g(x)+c)dx} - int{a}{b}({f(x)+c)dx} = int{a}{b}{(g(x)-f(x))dx}</m>

Általánosan adódik, tehát, hogy az adott intervallumon integrálható két függvénygörbe közti terület az alábbi egyszerű képlettel számítható.

<m>T=delim{|}{int{a}{x_1}{g(x)-f(x)dx}}{|} + delim{|}{int{x_1}{x_2}{g(x)-f(x)dx}}{|} + 
cdots + delim{|}{int{x_n}{b}{g(x)-f(x)dx}}{|}
</m>

===== Térfogat =====
  - forgástest térfogata (függvénygörbék integrálásával)
  - nem forgástest térfogata (többváltozós integrálással)
===== Ívhossz =====
===== Forgástest palástja =====
==== Tömegközéppont ====