====== Határérték ======


===== Sorozatok határértéke =====

**Definíció:**
Az //(a<sub>n</sub>)// [[sorozatok|sorozat]] határértéke az //A// valós szám, ha minden <m>epsilon in bbR^+</m> számhoz található olyan //N// küszöbindex, hogy bármely <m>n in bbN, n>=N</m> esetén <m>delim{|}{a_n - A}{|} < epsilon</m>.\\
Ha az //(a<sub>n</sub>)// sorozatnak van véges (valós) határértéke, akkor **konvergens**nek nevezzük, minden más esetben a sorozatot **divergens**nek nevezzük.

**Definíció:**
Az //(a<sub>n</sub>)// sorozat határértéke <m>+ infty</m> (illetve <m>- infty</m>), ha bármely //K// valós számhoz található olyan //N// küszöbindex, hogy bármely <m>n in bbN, n>=N</m> esetén //a<sub>n</sub>>K// (illetve //a<sub>n</sub><K//).

**Tétel:**
Konvergens sorozat mindig korlátos is.\\
**Bizonyítás:**
Válasszunk egy konkrét <m>epsilon</m> értéket, legyen például <m>epsilon=1</m>. Az ehhez tatozó küszöbindex feletti elemek mind az <m>delim{]}{A-epsilon;A+epsilon}{[}</m> intervallumba esnek. A küszöbindex előtti tagok halmaza véges halmaz, így van legnagyobb és legkisebb eleme: //M// és //m//. Így tehát a sorozat felső korlátja a <m>K=max(M;A+epsilon)</m> szám, alsó korlátja pedig a <m>k=min(m;A-epsilon)</m>.

FIXME Bocs, ha hülyeséget írok, de a határéték(végesben véges) definíciójában, nem inkább annak kéne lennie, hogy <m>epsilon in bbR^+</m> ? \\
 --- //[[szk@vmg.sulinet.hu|Szilágyi Kristóf]] 2007/05/25 21:40//
De. Máskor nyugodtan javítsd ki - biztos van még sok hasonló elgépelés!
[bb]


==== nevezetes határértékek ====
<m>{lim} under {n right infty} q^n = delim{lbrace}{matrix{4}{2}{{q>1}{+infty}{|q|<1}{0}{q=1}{1}{q<=-1}{oszc.div.}}}{}</m>

<m>{lim} under {n right infty} root{n}{q} = 1, q>0</m>

<m>{lim} under {n right infty} root{n}{n} = 1</m>

<m>{lim} under {n right infty} (1+k/n)^n = e^k</m>

ökölszabályok: <m>log{n}<<n<<A^n<<n!<<n^n</m>

===== Függvény határérték =====




==== Pontbeli határérték ====

**Definíció:**
Az //f// függvénynek az <m>x_0</m> pontban van **véges határértéke**, ha //f// értelmezve van az <m>x_0</m> egy [[környezet#pontozott környezet]]ében, és van olyan <m>A in bbR</m> szám, hogy bármely <m>epsilon > 0</m>-hoz létezik olyan <m>delta > 0</m>, hogy ha <m>0 < delim{|}{x-x_0}{|} < delta</m>, akkor <m>delim{|}{f(x)-A}{|}<epsilon</m>. Ekkor az //A// számot az //f// függvény //x<sub>0</sub>// pontban vett határértékének nevezzük.\\
**Jelölés:**
<m>lim{x right x_0}{f(x)} = A</m>

**Definíció:**
Az //f// függvény határértéke az <m>x_0</m> pontban <m>+ infty</m> (illetve <m>- infty</m>), ha //f// értelmezve van az <m>x_0</m> egy [[környezet#pontozott környezet]]ében, és bármely //K// valós számhoz létezik olyan <m>delta > 0</m>, hogy ha <m>0 < delim{|}{x-x_0}{|} < delta</m>, akkor //f(x)>K// (illetve //f(x)<K//).\\
**Jelölés:**
<m>lim{x right x_0}{f(x)} = +infty</m>


==== Végtelenben vett határérték ====