====== **TÖRLÉSRE JELÖLT!** ====== // // // // // =====Függvényelemzés szempontjai===== ====Zérushely==== f: A→B függvénynek x₀∈A-ban **zérushelye** van, ha f(x₀)=0. ====Monotonitás==== f: A→B függvény **szigorúan monoton növekvő** A-n, ha ∀ x₁,x₂∈A és x₁2 esetén f(x₁)02). f: A→B függvény **monoton növekvő** A-n, ha ∀ x₁,x₂∈A és x₁2 esetén f(x₁)≤f(x₂). f: A→B függvény **szigorúan monoton csökkenő** A-n, ha ∀ x₁,x₂∈A és x₁2 esetén f(x₁)>f(x₂). f: A→B függvény **monoton csökkenő** A-n, ha ∀ x₁,x₂∈A és x₁2 esetén f(x₁)≥f(x₂). === Monotonitás és az első derivált === //EZ A SZAKASZ MÉG CSONK!// Ha f fv. értelmezett az ]a;b[ nyílt intervallumon és ott differenciálható, továbbá az intervallumon belül minden x-re az első derivált >= 0, akkor a függvény **monoton növő**. megjegyzés: ha f értelmezett az intervallum szélein (a,b) és f folytonos a zárt [a;b]-n, akkor f a zárt [a,b]-n is monoton növő. Ha f fv. értelmezett az ]a;b[ nyílt intervallumon és ott differenciálható, továbbá az intervallumon belül minden x-re az első derivált > 0, akkor a függvény **szigorúan monoton növő**. megjegyzés: ha egy függvény deriváltja diszkrét pontokban 0 és máshol pozitív, akkor még a szigorúság fennáll. (pl. x^3, x+sinx) De ha egy intervallumon nulla, akkor nem. Ha f értelmezett x_0 egy környezetében és diffható x_0-ban, és x_0-ban szélsőértéke van, akkor a derivált x_0-ban 0. [szükséges feltétel] megjegyzés: ahol nem deriválható, ott még lehet szélsőértéke! Tétel: Ha f értelmezett és diffható x_0 egy környezetében és f'(x_0)=0 és f' az x_0 helyen előjelet vált, akkor f-nek x_0-ban szélsőértékhelye van. Mégpedig ha - -> + akkor minimuma, ha + -> - akkor maximuma. [ez a gyakorlatban leginkább használt tétel] Tétel: Ha f kétszer diffható x_0-ban és f'(x_0)=0 és f''(x_0)!=0, akkor f-nek x_0-ban szélsőértéke van, mégpedig ha f"(x_0)>0 akkor minimuma, különben maximuma. A a második deriválás nem vezet eredményre (0), akkor addig deriváljuk, míg x_0-ban nem nulla lesz. Ekkor igazak a következők: * ha páros fokszámú derivált nem nulla, akkor szélsőértéke van * ha ez pozitív, akkor minimuma, * ha ez negatív, akkor maximuma van * ha páratlan, akkor nincs szélsőértéke. [ezek tétel formájában is megfogalmazhatók...] ====Szélsőérték==== A gyakorlati életben, például a gazdasági matematikai modellekben fontos szerepet játszik a függvények maximum- és minimum helyének és értékeinek a problémája. Ugyanis ha valamilyen folyamatot, értéket optimizálni akarunk, a megoldás gyakran szélsőérték feladatokra vezet. Függvények vizsgálatkor a szélsőértékeket három jellemzővel adjuk meg: - a szélsőérték típusa (lokális/globális, maximum/minimum) - a szélsőérték helye (maximum hely, minimum hely) - az adott helyen felvett érték (maximum/minimum) **Definíció:** Legyen x_0 in D_f. * Az x₀ értéket az //f// függvény **globális maximum helyének** nevezzük, ha f(x)<=f(x₀) minden x in D_f-re. Az f(x₀) értéket ekkor az //f// függvény **globális maximum**ának nevezzük. * Az x₀ értéket az //f// függvény **globális minimum helyének** nevezzük, ha f(x)>=f(x₀) minden x in D_f-re. Az f(x₀) értéket ekkor az //f// függvény **globális minimum**ának nevezzük. * Az x₀ értéket az //f// függvény **lokális maximum helyének** nevezzük, ha f(x)<=f(x₀) minden, az x₀ pont valamely (x_0 - delta,x_0 + delta), delta>0 környezetébõl való x in D_f-re. Az f(x₀) értéket ekkor az //f// függvény **lokális maximum**ának nevezzük. * Az x₀ értéket az //f// függvény **lokális minimum helyének** nevezzük, ha f(x)>=f(x₀) minden, az x₀ pont valamely (x_0 - delta,x_0 + delta), delta>0 környezetébõl való x in D_f-re. Az f(x_0) értéket ekkor az //f// függvény **lokális minimum**ának nevezzük. === Szélsőértékek és az első derivált === ... ====Korlátosság==== Def.Az f valós-valós függvény **felülről korlátos**, ha exists K in bbR amelyre teljesül, hogy forall x in D_f esetén f(x)<=K K felső korlát. A teljességi axiómából következően K-ból létezik legalsó. Def.Az f valós-valós függvény **alulról korlátos**, ha exists k in bbR, amelyre teljesül, hogy forall x in D_f esetén k<=f(x). Def.Az f függvényt **korlátos**nak mondjuk, ha alulról is és felülről is korlátos. ---- ====Paritás==== **Definíció:** Az //f// függvényt **páros** függvénynek nevezzük, ha forall x in D_f: ~ -x in D_f wedge f(x)=f(-x). Az //páros// elnevezés a páros kitevős [[hatványsor]]okra vezethető vissza. ((Pontosabban arra tételre, hogy: T. Ha f páros/páratlan és létezik MacLaurin-sora (nulla-körüli Taylor-sora), akkor abban csak páros/páratlan fokú tagok fordulnak elő.)) Nevezetes páros függvények még: x right cos(x), x right delim{|}{x}{|} **Következmény:** A páros függvények grafikonja az //y// tengelyre szimmetrikus. **Definíció:** Az //f// függvényt **páratlan** függvénynek nevezzük, ha forall x in D_f: ~ -x in D_f wedge -f(x)=f(-x). Az //páratlan// elnevezés a páratlan kitevős [[hatványsor]]okra vezethető vissza. Nevezetes páros függvények még: x right sin(x), x right tg(x), x right 1/x **Következmény:** A páratlan függvények grafikonja az origóra középpontosan szimmetrikus. ---- ====Periodicitás==== Def.Az f valós-valós függvény **periodikus**, ha exists p>0 amelyre teljesül, hogy forall x in D_f esetén (x pm p)in D_f, továbbá f(x pm p)=f(x), ahol //p// a függvény periódusa. ---- ====Konvexitás==== Def.Az f valós-valós függvény **konvex** az I ⊆ D_f intervallumon, ha forall a,b in I esetén teljesül a következő forall x: a **Inflexiós pont:** az a pont a függvényben, ahol konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe vált át. ====== VITA ====== Szerintem nem jó ötlet ezeket így kategorizálni. Vagy külön külön szócikkbe kéne rakni, vagy oda a függvényekhez.[konczy] Elvi dolgokban inkább átengedem a döntést, annak aki jobban ért hozzá, bár szerintem a mostani elég átlátható és praktikus megoldás.[kontos] Az ideális megoldás (hosszútávú célkitűzés), hogy legyen egy összefoglaló oldal a főbb szempontokról és onnan tovább lehessen menni az egyes tulajdonságok bővebb kifejtéséhez. Ezekben az aloldalakban lehet tételeket, bizonyításokat, szemlélteltéseket rakni. Szerintem. [bb]