EZ A CIKK CSONK! ----------------------------------- ====== Függvények ====== **Definíció:** Adott két halmaz, //A// és //B//. Ha az //A// halmaz minden elemének megfeleltetjük //B// halmaz valamely elemét, akkor ezt a [[lekepezes|leképezést]] **függvénynek** nevezzük. Fontos hangsúlyozni, hogy //A// halmaz //minden// eleméhez //pontosan egy// elemet rendelünk. A függvényeket definiálhatjuk speciális [[oktatas:matematika:halmazok:relacio#függvények|reláció]]ként is. Ekkor f subset A*B reláció függvény, ha (x, y_1),(x, y_2) in f doubleright y_1 = y_2. **Jelölések:** A függvényeket általában az ABC kisbetűivel jelöljük: //f, g, h,//... Az //f// függvény által az //x// értékhez rendelt értéket //f(x)//-el jelöljük. Úgy is fogalmazhatunk, hogy //f(x)// az //f// függvény //x// helyhez tartozó függvényértéke. A C subset A halmaz //f// által generált képe: f delim{[}{C}{]} = delim{lbrace}{y in B | exists x in C: f(x) = y}{rbrace} ===== Értelmezési tartomány ===== A fenti leképezésben az //A// halmazt a függvény **értelmezési tartomány**ának nevezzük; más helyen néha //alaphalmaz//nak, illetve //indulási halmaz//nak is nevezik. **Jelölés:** //D_f//, esetleg //ÉT//. Ha az értelmezési tartományt nem adjuk meg, akkor azt a legbővebb számhalmazt tekintjük értelmezési tartománynak, melyen a hozzárendelésnek értelme van. ===== Képhalmaz ===== A fenti leképezésben a //B// halmazt a **képhalmaz**nak, vagy //érkezési halmaz//nak nevezzük. ===== Értékkészlet ===== A fenti leképezésben //B// halmaz azon elemei, melyek szerepelnek a hozzárendelésben az **értékkészlet**et alkotják. Az értékkészlet tehát a képhalmaz részhalmaza. Ha a két halmaz egyenlő, akkor a függvényt [[leképezés#szürjekció]]nak nevezzük. **Jelölés:** //R_f//, esetleg //ÉK//. ===== Függvény megadása ====== Egy függvényt adottnak tekintünk ha * ismerjük az értelmezési tartományát és * megadjuk a hozzárendelést Feladatok kiírásakor gyakran előfordul, hogy az értelmezési tartomány jelölik ki. Ilyenkor megállapodás szerint azt a legbővebb halmazt tekintjük értelmezési tartománynak, melyen a megadott hozzárendelés értelmezhető. Speciális függvények esetén - mint például a [[sorozatok]] - szintén előfordul, hogy nem adjuk meg az értelmezési tartományt. A hozzárendelés megadására az alábbi eszközöket használhatjuk: * képlet * táblázat * grafikon * diagramm ==== Általános megadás ==== A függvényeket leggyakrabban //táblázattal//, //grafikonnal// vagy //analitikusan// (képlettel) szokás megadni. Az analitikus módon megadott függvények közül az //y//=//f//(//x//) alakúakat //explicit//, az //F//(//x//;//y//) //implicit//, az //y//=//y//(//t//), //x//=//x//(//t//) egyenletrenszerrel adottakat pedig //paraméteres// előállítású függvényeknek nevezzük. ===== Függvények fontos típusai ===== A függvények speciális csoportjait alkotják a * [[leképezés#szürjekció]]k - ahol a képhalmaz megegyezik az értelmezési tartománnyal * [[leképezés#injekció]]k - melyek minden értelmezési tartománybeli elemhez //különböző// értékeket rendelnek * [[leképezés#bijekció]]k - melyek az előbb említett mindkét tulajdonsággal bírnak, ami anyit jelent, hogy az értelmezési tartomány és a képhalmaz elemei bárba állíthatók a segítségükkel. Szokás a bijekciókat //kölcsönösen egyértelmű leképezés//eknek is nevezni. ====== Függvény osztályok ====== ===== Lineáris függvények ===== A lineáris függvények nevüket onnan kapták, hogy grafikonjuk egyenes. Általános hozzárendelési szabályuk: f:H−>**R**, f(x)=mx+b (H⊂**R**, m és b valós számok) A lineáris függvények további két csoportba sorolhatóak aszerint, hogy //m// értéke nulla, vagy nem nulla. ==== Konstans függvények ==== Az //f(x)=c// (//c// adott szám) alakú függvényeket **konstans** (állandó) függvényeknek nevezzük. A konstans függvények képe x tengellyel párhuzamos egyenes, mely az y tengelyt //c//-nél metszi. ==== Elsőfokú függvények ==== Az //f(x)=mx+b// (//m//≠0 és //b// adott számok) alakú függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Képük ferde (egyik tengellyel sem párhuzamos) egyenes, mely az y tengelyt //b//-nél metszi. Az //m// értéket **meredekség**nek nevezzük, mert az egyenes pozitív x tengellyel bezárt szögének ([[matematika:koordinátageometria:egyenes#irányszög]]) tangense (matematika:koordinátageometria:egyenes#iránytangens]]). Az ábrázoláskor ez azt jelenti, hogy a grafikon egy pontjából elindulva jobbra 1 egységet, függőlegesen felfele //m// egységet lépve ismét a grafikon egy pontjához jutunk. **Alapfüggvény:** x->x Általában minden f:H−>**R**, f(x)=mx (H⊂**R**) függvényről azt is mondhatjuk, hogy egyenes arányosság, amelynek arányossági tényezője m. Példák: egyenes vonalú egyenletes mozgás út-idő függvénye; egyenletesen gyorsuló mozgás sebesség-gyorsulás függvénye ===== Szakaszonként lineáris függvények ====== ==== Előjel függvény ==== ==== Egészrész függvény ==== ==== Törtrész függvény ==== ==== Abszolútérték függvény ==== ====== Másodfokú függvények ====== A másodfokú függvény hozzárendelési szabálya általános esetben: f:**R**->**R**, f(x)=ax²+bx+c, ahol a ∈ **R**/{0}; b,c ∈ **R**. A másodfokú függvény képe parabola, amelynek fókusza F pont, e-t vezéregyenesnek, az y tengelyt pedig a parabola tengelények nevezzük, míg az origó a csúcspontja. (Tengelye párhuzamos az y tengellyel.) Hozzárendelési szabályai: f:**R**->**R**, f(x)=a(x-u)²+v, ahol a ∈ **R**/{0}; u,v ∈ **R**. * A normális parabolát ekkor a-szorosára nyújtjuk, és a __v__(u;v) vektorral eltoljuk úgy, hogy a parabola csúcspontja c(u;v) pontba kerül. Egy másodfokú függvénynek 0,1 vagy 2 zérushelye létezhet, mivel a parabola elhelyezkedésétől függően legfeljebb két helyen metszi az x tengelyt. Diszkriminánstól függően és a kifejezés főeggyuthatójának előjelét figyelembe véve, 6 féle elhelyezkedést ismerünk: Íly módon ábrázolva egy másodfokú kifejezést, a zérushelyeket figyelve megkaphatjuk az ábrázolt összefüggés valós gyökeit. ===== Hatvány függvények ===== ===== Gyökfüggvények ===== ===== Törtfüggvények ===== ===== Trigonometrikus függvények ===== [[oktatas:matematika:trigonometria:szoegfueggvenyek]] ==== Színusz függvény ==== ==== Koszinusz függvény ==== ==== Tangens függvény ==== ==== Kotangens függvény ==== ===== Exponenciális függvény ===== ===== Logaritmus függvény ===== ======= Tulajdonságok ======= A függvénytulajdonságoknak sokszor szemléletes, a grafikonról jól leolvasható tartalma is van. Ennek ellenére a tulajdonságok definíciói nem a grafikonokról szólnak, hiszen a függvény ábrázlás nélkül is függvény, és a hozzá kapcsolódó tulajdonságok is a leképezés tulajdonságai, nem a grafikon jellemzői. Itt említhetjük meg, hogy vannak függvények, melyeknek nincs megrajzolható grafikonjuk (pl.: Dirichlet-függvények). ==== szimmetria ==== * szimmetria tulajdonságok ([[oktatas:matematika:analizis:paritas]] és [[oktatas:matematika:analizis:periodicitas]]) ==== monotonitás ==== * [[monotonitás]] ==== korlátosság ==== * [[korlátosság]] ==== szélsőérték ==== * [[szélsőérték]] ==== konvexitás ==== * [[konvexitás]] ==== folytonosság ==== * [[folytonosság]] (pontban, környezetben) ==== határérték ==== * [[határérték]] ===== fontosabb tételek ===== T Weierstrass-tétele: Ha f függvény folytonos I = [a,b] intervallumon, akkor létezik I-n maximuma és minimuma is. T Bolzano-tétele: Ha f függvény folytonos [a,b] intervallumon, akkor a minimum és a maximum között minden értéket felvesz. ===== teljes függvénydiszkusszió ===== A teljes függvénydiszkusszió felhasználja a [[határérték|határérték-számítás]] és a [[differenciálszámítás]] eszközeit. - értelmezési tartomány, tengelymetszetek - szimmetria tulajdonságok - folytonosság, határértékek a szakadási helyeken és az ért.tart. szélein - első derivált: monotonitás, szélsőértékek - második derivált: konvexitás, inflexiós helyek - grafikon felrajzolása (aszimptoták berajzolása) - értékkészlet ==== Példák ==== Példa: a f: {bbZ^+}right{bbR} függvények a numerikus [[oktatas:matematika:analizis:sorozatok]]. Példa: [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:geometriai_transzformacio]]k Példa: a f: {D_f}right{bbR}, {D_f}subset{R}. Jelölések: f: bbR right bbR, x right f(x), f(x)