====== Függvény folytonosság ======

**Definíció:**
Az //f// függvény **folytonos** az <m>x_0</m> **pontban**, ha //f// értelmezve van az <m>x_0</m> egy [[környezet]]ében, és bármely <m>epsilon > 0</m>-hoz létezik olyan <m>delta > 0</m>, hogy ha <m>delim{|}{x-x_0}{|} < delta</m>, akkor <m>delim{|}{f(x)-f(x_0)}{|}<epsilon</m>.

**Tétel:**
Legyen //f// függvény értelmezve az <m>x_0</m> pont egy környezetében. Az //f// pontosan akkor folytonos az <m>x_0</m> pontban, ha minden olyan <m>(x_n)</m> sorozatra, melynek tagjai az //f// értelmezési tartományába tartoznak, és <m>(x_n)</m> konvergál <m>x_0</m>-hoz, a megfelelő függvényértékekből alkotott <m>(f(x_n))</m> sorozat <m>f(x_0)</m>-hoz konvergál.

**Bizonyítás:**
...


===== Folytonosság és határérték =====

A folytonosság fenti definíciója egyenértékű az alábbi feltételekkel:
  - Az //f// függvény értelmezve van az //x<sub>0</sub>// pontban (<m>x_0 in D_f</m>)
  - Az //f// függvénynek véges [[határérték]]e van az //x<sub>0</sub>// pontban
  - Ez a határérték az //x<sub>0</sub>// pontbeli függvényértékkel egyenlő


==== Egyoldali folytonosság ====

**Definíció:**
Az //f// függvény az //x<sub>0</sub>// pontban jobbról (illetve balról) folytonos, ha //f// értelmezve van valamely <m 10>delim{]}{x_0;x_0+r}{[}</m> (illetve <m 10>delim{]}{x_0-r;x_0}{[}</m>) intervallumon és <m 10>forall epsilon in bbR^+</m> számhoz létezik olyan <m 10>delta in bbR^+</m> szám, hogy minden <m 10>0<x-x_0<delta</m> (illetve <m 10>0<x_0-x<delta</m>) esetén <m 10>delim{|}{f(x)-f(x_0)}{|}<epsilon</m>.



===== Intervallumon folytonos függvények =====

**Definíció:**
Az //f// függvényt folytonosnak nevezünk egy intervallumon, ha //f// az intervallum minden belső pontjában folytonos, zárt intervallum esetén a baloldali végpontban jobbról, a jobb oldali végpontban balról folytonos.

**Jelölés:**
<m>f in C delim{[}{a,b}{]}</m>

Ha a függvény az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos, akkor egyszerűen csak **folytonos függvény**nek nevezzük.


===== Műveletek folytonos függvényekkel =====

**Tétel:**
Legyen //f// és //g// folytonos az //x<sub>0</sub>// pontban. Ekkor
  * //f+g// függvény
  * //f-g// függvény
  * //fg// függvény
  * <m>f/g</m> függvény, ha //g(x<sub>0</sub>)// nem nulla
folytonos az //x<sub>0</sub>// pontban.

**Bizonyítás:**
A bizonyítás a konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti szabályokra vezethető vissza.

===== Folytonos függvények tulajdonságai =====

**Tétel:**
Ha //f// folytonos az //x<sub>0</sub>// pontban és //f(x<sub>0</sub>)>0//, akkor van //x<sub>0</sub>//-nak olyan //B// [[környezet]]e, melyre <m>forall x in B inter D_f: ~ f(x)>0</m>.\\
**Bizonyítás:**
Mivel //f// folytonos //x<sub>0</sub>//-ban, így bármely <m>epsilon in delim{]}{0,f(x_0)}{[}</m>-hoz található <m>delta</m> sugarú környezet megfelel a feltételnek.

**Következmény:**
Legyen //f// és //g// folytonos az //x<sub>0</sub>//-ban, és //f(x<sub>0</sub>)>g(x<sub>0</sub>)//. Ekkor van //x<sub>0</sub>//-nak olyan //B// [[környezet]]e, melyre <m>forall x in B inter D_f inter D_g: ~ f(x)>g(x)</m>.\\
**Bizonyítás:**
Alkalmazzuk az előző tételt az //f(x)-g(x)// függvényre.

----

**Tétel:**
Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.\\
**Bizonyítás:**
Tegyük fel, hogy //f// felülről nem korlátos. Ekkor létezik olyan //(x<sub>n</sub>)// intervallum beli sorozat, melyre //f(x<sub>n</sub>)// végtelenhet tart. Mivel //(x<sub>n</sub>)// korlátos, így létezik <m>(x_{i_n})</m> konvergens [[sorozatok#részsorozat]]a. Ekkor <m>(f(x_{i_n}))</m> is konvergens, mert //f// folytonos az intervallum minden pontjában. Így ellentmondásra jutottunk, hiszen <m>(f(x_{i_n}))</m>-nek végtelenhez kellene tartania.\\
Hasonlóan belátható, hogy //f// alulról korlátos.

----

**Bolzano-Tétel:**
Ha //f// folytonos az //[a;b]// zárt intervallumon és //f(a)f(b)<0//, akkor //f//-nek van zérushelye az //[a;b]// intervallumon\\
**Bizonyítás:**
Nézzük az //f(a)<0//, //f(b)>0// esetet. Legyen ekkor <m>H := delim{lbrace}{x in delim{[}{a;b}{]} : f(x)<0}{rbrace}</m>. //H// felülről korlástos, hiszen //b// felső korlátja, így van //x<sub>0</sub>// [[oktatas:matematika:halmazok:halmazok#legkisebb felső korlát]]ja (<m>x_0 in sup H in delim{]}{a;b}{[}</m>).\\
Belátjuk, hogy //f(x<sub>0</sub>)=0//.\\
Tegyük fel ugyanis, hogy //f(x<sub>0</sub>)>0//. Ekkor kell legyen //x<sub>0</sub>//-nak olyan környezete, melynek //x// pontjaiban //f(x)>0//, így //x<sub>0</sub>// nem lehetne //legkisebb// felső korlát.\\
Tegyük fel most, hogy //f(x<sub>0</sub>)<0//. Ekkor kell legyen //x<sub>0</sub>//-nak olyan környezete, melynek //x// pontjaiban //f(x)<0//, így //x<sub>0</sub>// nem lehetne legkisebb //felső// korlát.\\
Így //f(x<sub>0</sub>)=0// lehet csak, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van zérushelye //]a;b[//-n

**Következmény:**
Ha //f// függvény az //I// intervallumon folytonos és nincs zérushelye //I//-n, akkor //f// állandó előjelű //I//-n.

**Következmény:**
Ha //f// folytonos az //[a;b]// intervallumon, akkor //f// az //f(a)// és //f(b)// közötti összes értéket felveszi.\\
**Bizonyítás:**
Legyen //c// az //f(a)// és //f(b)// közé eső érték. Ekkor //g(x)=f(x)-c// függvény folytonos az //[a;b]//-n és //g(a)g(b)<0//, így alkalmazható rá a Bolzano-Tétel, tehát //g//-nek van //x// zérushelye az //[a;b]//-n, ebben a pontban viszont //f(x)=c// adódik.