====== Differenciálszámítás ====== ===== Az érintő definiálása ===== Legyen S adott intervallum. Az f: S -> R függvény grafikonjának két pontját jelölje a P(c, f (c)) és Q(x, f (x)), ahol c in S . {{matematika:analizis:kep1.jpg|}} A PQ szelő meredekségét a PQ és az Ox tengely pozitív iránya által bezárt szög tangense adja, s mivel PR párhuzamos az x-tengellyel, ezért ez a szög a QPR szöggel egyenlő, teháttgQPR={QR}/{PR}={f(x)-f(c)}/{x-c} Ha ez a differenciahányados egy m határértékhez tart, miközbenx in Start c-hez, akkor a szelő a P pontra illeszkedő m meredekségő egyeneshez tart, melyet az y = f(x) egyenleű görbe c abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének nevezzük. {{matematika:analizis:kep2.jpg|}} A geometriai szemlélettől függetleníthetjük azt az eljárást, amely szerint az f és c ismeretében meghatározzuk az m számértéket. Az f: S -> R függvénynek differenciálhányadosa a c in Shelyen m (akkor és csak akkor), ha{lim}under{x right c} {f(x)-f(c)}/{x-c}=m Ekkor röviden azt mondjuk, hogy f differenciálható a c pontban. Az alábbi linken megtekinthető a folyamat: http://www.geogebra.org/en/examples/function_slope/function_slope1.html ===== Differencia és differenciahányados ===== Az f(x) függvény x_0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az {f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} x <> x_0 hányadost értjük. Ha a differenciálhányadosnak az x_0 pontban van határértéke, akkor ezt a határértéket az f(x) függvény x_0 pont beli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Ekkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x_0 pontban differenciálható, vagy deriválható. Megjegyzés: az f(x) függvény ]a; b[ intervallumon deriválható, ha az intervallum minden pontjában teljesül a deriválhatóság. Szemléletes jelentés: -Differenciahányados --Matematikában: a grafikon x_0 és x pontját összekötő szelő iránytangense --Fizikában: az s(t) út-idő függvény esetén az átlagsebesség -Differenciálhányados: --Matematikában: a grafikon x_0 pontjában húzott érintő iránytangense --Fizikában: az s(t) út-idő függvény esetén a pillanatnyi sebesség ===== A függvény deriváltja ===== Tétel: Ha az f(x) függvény x_0 pontban deriválható, akkor ott folytonos is. Ebből következik, hogy a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. A folytonosság azomban nem elégséges feltétel ahhoz, h a függvény differenciálható legyen. Pl: f(x)= |x|; x in bbR; x_0=0 pontban folytonos. m(x)={|x|-0}/{x-0}={|x|}/x=1, ha x>0; -1, ha x<0 {lim}under{x right 0} m(x) = {lim}under{x right 0} {|x|}/x= nem létezik, tehát az f(x) nem differenciálható. Definíció: Azt a függvényt, amely megadja, hogy a változó egyes értékeihez mely derivált tartozik, az f(x) függvény deriváltfüddvényének, röviden deriváltjának nevezzük. Jelölés: f prime(x) vagy {df}/{dx} pl: f(x)=x^2; f' (x)=2x vagy (x^2)'=2x ===== Deriválási szabályok ===== ==== Műveleti szabályok ==== 1) [f(x)+/- g(x)] prime = f prime (x) +/- g prime (x) 2) [c cdot f(x)] prime = c cdot f prime (x); c in bbR 3) [f(x) cdot g(x)] prime = f prime (x) cdot g(x) + g prime (x) cdot f(x) 4) [{f(x)}/{g(x)}] prime = {f prime (x) cdot g(x) - g prime (x) cdot f(x)}/{[g(x)]^2} 5) [f[g(x)]] prime = f prime [g(x_0)] cdot g prime(x_0) === A szorzatfüggvény deriváltja === Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenhol differenciálhatók. Határozzuk meg ah(x)=f(x)*g(x)függvény deriváltját! m(x)={h(x)-h(x_0)}/{x-x_0}={f(x) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x_0)}/{x-x_0}= A számlálóhoz és a nevezőhöz adjuk hozzá és vonjuk ki azf(x_0) cdot g(x)szorzatot! ={f(x) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x_0)+f(x_0) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x)}/{x-x_0}= {[f(x) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x)]+[f(x_0) cdot g(x)+f(x_0) cdot g(x_0)]}/{x-x_0}= {g(x) cdot [f(x)-f(_0)]+f(x_0) cdot[g(x)-g(x_0)]}/{x-x_0}= {f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} cdot g(x) + {g(x)-g(x_0)}/{x-x_0} cdot f(x_0) h prime (x_0)= {lim}under{x right x_0} m(x)= {lim}under{x right x_0}[{f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} cdot g(x) + {g(x)-g(x_0)}/{x-x_0} cdot f(x_0)]= =f prime (x_0) cdot g(x_0)+f(x_0) cdot g prime (x_0) [f(x) cdot g(x)] prime = f prime (x) cdot g(x) + g prime (x) cdot f(x) === Differenciálható függvény inverze === **Tétel:** – Az inverz függvény deriváltja – Ha az invertálható, valós-valós //f// függvény differenciálható az értelmezési tartománya egy //u// pontjában, //f-1// differenciálható //f(u)//-ban és //f'(u)// nem nulla, akkor (f^{-1})prime(f(u))=1/{f prime(u)} **Bizonyítás:** [[http://hu.wikipedia.org/wiki/Inverz_f%C3%BCggv%C3%A9ny_(anal%C3%ADzis)]] Ha a tétel feltételei az //f: H --> K// bijektív valós-valós függvény értelmezési tartományának minden pontjára teljesülnek, akkor ezt még a következő egyenlőségekkel is kifejezhetjük: (f^{-1})prime(y)=1/{f prime(f^{-1}(y))} ==== Fontos deriváltak ==== 1) Konstansfüggvény deriváltja: f(x)=c; c in bbR f prime (x)=0, vagy (c) prime =0 2) Az elsőfokú függvény deriváltja: f(x)=x f prime (x)=1, vagy (x) prime =1 3) A hatványfüggvény deriváltja: f(x) = x^n; n in bbZ f prime (x) = n cdot x^{n-1}, vagy (x^n) prime = n cdot x^{n-1} 4)Az f(x)= 1/x; x in bbR backslash lbrace 0 rbrace függvény deriváltja: f(x)= 1/x f prime (x)= -1/{x^2}, vagy (1/x) prime = -1/{x^2} 5)Az f(x) = sqrt{x}; x in bbR backslash bbR^- függvény deriváltja: f(x)= sqrt{x}= x^{1/2} f prime (x)= 1/{2 cdot sqrt{x}}, vagy (sqrt{x}) prime = 1/{2 cdot sqrt{x}} 6)Az f(x) = root{n}{x^k}; x in bbR backslash bbR^- függvény deriváltja: f(x) = root{n}{x^k} f prime (x)= {k/n} cdot x^{k/n-1}, vagy (root{n}{x^k}) prime = {k/n} cdot x^{k/n-1} 7) A szinuszfüggfény deriváltja: f(x)= sin x f prime (x) = cos x, vagy (sin x) prime = cos x 8) A koszinuszfüggvény deriváltja: f(x)= cos x f prime (x) = -sin x, vagy (cos x) prime = -sin x 9) A tangensfüggfény deriváltja: f(x)= tg x f prime (x)= 1/{cos^2 cdot x} 10) A kotangens függvény deriváltja: f(x)= ctg x f prime (x)= -1/{sin^2 cdot x} 11)Az a^x függvény deriváltja f(x)= a^x f prime (x)= a^x cdot ln a, vagy (a^x) prime =a^x cdot ln a 12)A log_a x függvény deriváltja f(x)= log_a x f prime (x)= 1/{x cdot ln a} 13)A lg x függvény deriváltja f(x)= lg x f prime (x)= 1/{xln 10} ===== Az elsőfokú függvény deriváltja ===== f(x)=x Legyen x_0 tetszőleges pont! m(x)={f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} = {x-x_0}/{x-x_0}=1 f prime (x_0)={lim}under{x right x_0}m(x)=1 f(x)=x; f prime (x)=1 ===== Az 1/x függvény deriváltja ===== Legyen x_0 tetszőlege pont! m(x)={f(x)-f(x_0)}/{x-x_0}={1/x-1/{x_0}}/{x-x_0}= ={x_0-x}/{xx_o(x-x_0)}=-{(x-x_0)}/{xx_0(x-x_0)}=-1/{xx_0} f prime x_0 ={lim}under{x right x_0}m(x)=-1/{xx_0}=-1/{(x_0)^2} f(x)=1/x; f prime (x)= -1/{x^2} ====== == Vita == ====== Így első szuszra beírva egész jó, de azért néhány megjegyzés: * Használd a címfokozatokat a tagolásra! Ezekre lehet hivatkozni más oldalakról, másrészt az oldalhoz tartalomjegyzék is készül, ha elég sok alcím van benne. * Az elején valami bevezető szöveg kellene az egy pontra illeszkedő szelőkről... Ha még GeoGebrával készítessz ábrát/applet-et is, akkor meg csúcs szuper lesz (lehet, hogy találsz készen is a geogebra.org-on) * A képletekben van alsó index írásra lehetőség így: x_0, x_{1234} * Ha a képletben nem hagysz szóközt, akkor folyó szövegbe is ágyazhatod: sqrt{2} * Szorzásjelként a cdot használható a cdot b * Előbre raknám a műveleti szabályokat és ez alá tartozik a [[#Differenciálható függvény inverze]] pont is. A legszebb az lenne, ha lenne a fejezet elején egy egész rövid összefoglalása a műveleti szabályoknak, majd mindegyik külön szépen rendesen ki lenne mondva, esetleg bizonyítva (nem kell ezt neked mind megcsinálni, de a szerkezet és esetleg egy példa jó lenne rá, hogy ha más belenyúl, akkor már jó helyre írja... De szuper, hogy ennyit dolgoztál már vele! [bb]