====== Nevezetes közepek közötti összefüggések ======

Az alábbiakban a következő állítás bizonyítását rakjuk össze több tételben:
Legyen adott valahány nem negatív szám. Jelöljük [[mértani közep]]üket //G//-vel, [[számtani közep]]üket //A//-val, [[harmonikus közep]]üket //H//-val és [[négyzetes közep]]üket //N//-nel. Ekkor

<m>H<=G<=A<=N</m>

Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a számok mind egyenlőek.

Egy szemléletes ábra:

{{ matematika:algebra:kozep.jpg |nevezetes közepek}}

Belátható, hogy ha //AB=a// és //BC=b//, akkor
  * //BT// az //a// és //b// harmonikus közepe
  * //BE// az //a// és //b// mértani közepe
  * //BO// az //a// és //b// számtani közepe
  * //BD// az //a// és //b// négyzetes közepe

Az ábra alapján a fenti nevezetes egyenlőtlenség jól szemléltethető.


===== Számtani és mértani közép közötti összefüggés =====

**Tétel:** Két nem negatív szám [[mértani közép|mértani közepe]] kisebb vagy egyenlő a két szám [[számtani közép|számtani közepénél]], egyenlőség akkor és csak akkor áll fent, ha a két szám egyenlő.

**Bizonyítás:**
<m>a,b in bbR, a>=0, b>=0</m>

<m>(a-b)^2>=0</m>, egyenlőség akkor és csak akkor áll fent, ha <m>a=b</m>.

<m>a^2-2ab-b^2>=0</m>, adjunk mindkét oldalhoz //4ab//-t!

<m>a^2+2ab+b^2>=4ab</m>

<m>(a+b)^2>=4ab</m>, vonjunk gyököt mindkét oldalból!

<m>a+b>=sqrt{4ab}=2 sqrt{ab}</m>, osztjuk mindkét oldalt 2-vel

<m>{a+b}/2>=sqrt{ab}</m>

<m>A>=G</m>, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fent, ha <m>a=b</m>.

----

A tétel általánosítható:

**Tétel:** //n// darab nem negatív szám mértani közepe mindig kisebb vagy egyenlő, mint a számok számtani közepe. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a számok mind egyenlőek.

**Bizonyítás:**

<m>a_1, a_2, ... a_n in bbR, a_i>=0 (i=1, 2, ..., n)</m>

<m>G = root{n}{a_1 a_2 ... a_n}, A = {a_1+a_2+...+a_n}/n</m>

Első lépésben [[matematika:teljes indukció]]val bizonyítjuk az állítást <m>n=2^k, k in bbN</m> esetekre.

<m>k=1</m> esetet az előző tétellel már beláttuk.

Most tegyük fel, hogy <m>n=2^k</m>-ra már beláttuk az állítást, tehát tudjuk, hogy bármely <m>2^k</m> darab nem negatív szám mértani közepe kisebb vagy egyenlő a számok számtani közepével.

Lássuk be ezt felhasználva, hogy az állítás <m>n=2^{k+1}</m>-re is fennáll.

<m>
G=root{2^{k+1}}{a_1 a_2 ... a_{2^{k+1}}}=
sqrt{root{2^k}{a_1 ... a_{2^k}}root{2^k}{a_{2^k+1} ... a_{2^{k+1}}}}<=
</m><m>
<={root{2^k}{a_1 ... a_{2^k}}+root{2^k}{a_{2^k+1} ... a_{2^{k+1}}}}/2<=
<={{a_1+...+a_{2^k}}/{2^k}+{a_{2^k+1}+...+a_{2^{k+1}}}/{2^k}}/2=
</m><m>
={a_1+...+a_{2^{k+1}}}/{2^{k+1}}
=A
</m>

----

Nézzük most az általános esetet.
Legyen <m>n in bbN^+</m> és <m>n<2^k</m>. A mértani közepet továbbra is jelöljük //G//-vel, a számtanit //A//-val. Ekkor:

<m>
G=root{2^k}{G^{2^k}}=root{2^k}{G^n*G^{2^k-n}}=root{2^k}{a_1 a_2 ... a_n G^{2^k-n}}<=
</m>

<m>
<={a_1+...+a_n+(2^k-n)G}/{2^k}={nA+(2^k-n)G}/{2^k}
</m>

Most szorozzuk mindkét oldalt <m>2^k</m>-al

<m>2^{k}G<=nA+(2^k-n)G</m>

majd vonjunk ki mindkét oldalból <m>(2^k-n)G</m>-t

<m>nG<=nA doubleright G<=A</m>

Egyenlőség pedig csak akkor áll fent, ha a számok mind egyenlőek.


===== Mértani és harmonikus közép közötti összefüggés =====

**Tétel:** //n// darab nem negatív szám [[harmónikus közep]]e mindig kisebb vagy egyenlő a számok mértani közepénél.

**Bizonyítás:**

<m>a_1, a_2, ... a_n in bbR, a_i>=0 (i=1, 2, ..., n)</m>
Jelölje továbbá //G// a számok mértani közepét és //H// a számok harmonikus közepét.

Vegyük a számok reciprokainak mértani- és számtani közepét.

<m>1/G=root{n}{1/{a_1}1/{a_2}...1/{a_n}}<={1/{a_1}+...+1/{a_n}}/n=1/H</m>

amiből mindkét oldal reciprokát véve

<m>G>=H</m>



===== A számtani és négyzetes közép közötti összefüggés =====

**Tétel:** Nem negatív számok [[számtani közep]]e mindig kisebb vagy egyenlő a számok [[négyzetes közep]]énél. Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a számok mind egyenlőek.

===== VITALAP =====

A számtani és mértani közötti összefüggésre egy sokkal egyszerűbb és elegánsabb Pólya György bizonyítása, kb. 3 lépésben belátható az egész. Ehhez ajánlom:
http://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1mtani_%C3%A9s_m%C3%A9rtani_k%C3%B6z%C3%A9p_k%C3%B6z%C3%B6tti_egyenl%C5%91tlens%C3%A9g

További szép nyarat :)