{{matematika:algebra:pro.jpg|}} ====== Algebrai struktúrák ====== A matematikában előfordul, hogy nem számokot értelmezett algebrai műveletet szeretnénk végezni. Ilyen például: * vektorok összeadása * mátrixok szorzása * lineáris transzformációk vagy függvények kompozíciója. Ezen objektumokat a műveletek különböző tulajdonságai alapján akár csoportosíthatjuk is. Általánosan: ===== félcsoport ===== Egy //S// halmaz a rajta értelmezett circ művelettel **félcsoport**, ha a halmaz zárt a műveletre nézve és a művelet [[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]]. példák: * a pozitív számok az összeadásra nézve félcsoportot alkotnak * a pozitív valós számok a szorzás művelettel * az //nxn//-es mátrixok, a matrixszorzással félcsoportot alkotnak Egy félcsoportot **[[matematika:algebra:egysegelemes]] félcsoport**nak (más néven: **monoid**nak) nevezünk, ha létezik olyan //e// eleme, hogy forall a in S: e circ a = a circ e = a. **Például:** * A természetes számok halmaza az összeadással monoid (egységelem a 0) * A természetes számok halmaza a szorzás művelettel monoid (egységelem az 1) ===== csoport ===== A (//G//,circ) csoport, ha (//G//,circ) egységelemes félcsoport, és minden elemének létezik inverzeleme. Részletezve: - forall a,b,c in G: (a circ b) circ c = a circ (b circ c) ([[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]]) - exists e in G: forall a in H: a circ e = e circ a = a ([[matematika:algebra:egysegelemes]]) - forall a in G: exists (a prime): a circ a prime = a prime circ a = e (inverzelem) ==== Ábel-csoport ==== Ha a csoportművelet kommutatív is, akkor kommutatív-, vagy **Abel-csoport**ról beszélünk. * forall a,b in G: a circ b = b circ a (a + kommutatív) ===== Példák ===== **Példák:** * az egész számok, a racionális számok és a valós számok az összeadásra nézve csoportot alkotnak * a természetes számok halmaza nem csoport. * az [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:egybevagosagi_transzformacio]]k a transzformációk szorzásával csoportot alkotnak. **Tétel:** A csoport axiómák megadásakor elegendő a bal oldali egység és baloldali inverz létezését megkövetelnünk. **Bizonyítás:** Az axiómák tehát most a következők: * (1) exists e forall g: e·g = g * (2) forall g exists g_1: g_1·g = e (2) szerint létezik g1-nek is baloldali inverze, legyen ez g2. Ekkor: * (3) g·e = e·(g·e) = (g_2·g_1)·g·e = g_2·(g_1·g)·e = g_2·e·e = g_2·(e·e) = g_2·e = g_2·(g_1·g) = (g_2·g_1)·g = e·g = g ami azt jelenti, hogy //e// jobboldali egység elem is. ---- Nézzük most az inverz tulajdonságot! * (4) g·g_1 = e·g·g_1 = (g_2·g_1)·g·g_1 = g_2·(g_1·g)·g_1 = g_2·e·g_1 = (g_2·e)·g_1 =g_2·g_1 = e Ami épp azt jelenti, hogy //g1// jobboldali inverz is. **Tétel:** Bármely csoportban pontosan egy [[matematika:algebra:egysegelemes|egységelem]] létezik, azaz az egységelem egyértelmű. **Bizonyítás:** A csoport-axiómák miatt van egységeleme a csoportnak. Megmutatjuk, hogy nem lehet több. Legyen //e,f ∈ G// egységelem //G//-ben, ekkor //f·e = e·f = f//, mert //e// egységelem. Ugyanakkor //e·f = f·e = e//, mivel //f// (is) egységelem. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem. ==== csoport rendje ==== Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük. ==== kapcsolódó témák ==== Csoportelmélet, Galois-elmélet ===== gyűrű ===== A (H, +, cdot) két műveletre nézve **[[matematika:algebra:gyuru]]**, ha (H,+) abel-csoport és (H, cdot) félcsoport, valamint a + (összeadás) művelet a cdot (szorzat) műveletre nézve disztributív. Részletezve: - forall a,b,c in H: (a+b)+c = a+(b+c) (a + asszociatív) - exists 0 in H: forall a in H: a+0 = 0+a = a (van egység elem) - forall a in H: exists (-a): a+(-a)=(-a)+a=0 (van inverz elem) - forall a,b in H: a+b = b+a (a + kommutatív) - forall a,b in H: a cdot b = b cdot a (a szorzás asszoiatív) - forall a,b,c in H: a cdot (b+c) = a cdot b + a cdot c (baloldali disztributivitás) - forall a,b,c in H: (a+b) cdot c = a cdot c + b cdot c (jobboldali disztributivitás) Ha a szorzás művelet kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk. Ha a (H, cdot) egységelemes, akkor egységelemes gyűrűről beszélünk. Ha bármely nullától különböző elemek szorzata nem nulla, akkor zérusosztó mentes. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük. Az integritástartományok tekinthetők az egész számhalmaz általánosításának is. A gyűrűk oszthatósági tulajdonságaival a [[számelmélet]] foglalkozik. példa: * egész számok gyűrűje kommutatív, egységelemes gyűrű * H halmaz részhalmazai a [[oktatas:matematika:halmazok:halmazok#szimmetrikus-differenciál]]ra és a [[oktatas:matematika:halmazok:halmazok#metszet]] műveletekre kommutatív-gyűrű * Az //nxn//-es mátrixok gyűrűje * Egészegyüthatós polinomok gyűrűje ===== test ===== A (H,+,.) [[test]], ha a két műveletre gyűrű, (sőt) a második műveletre az "additív inverz" kivételével (H\{e+},.} csoport valamint igazak a jobb- és baloldali disztributív tulajdonságok. (Vedd észre, hogy a kétoldaliság kikötésére azért van szükség, mert a kommutativitást nem követeltük meg.) ===== félháló ===== Def_1 A **félháló** olyan egyműveletes (H;logicalor) struktúra, amelyben a ∨ művelet kétváltozós, továbbá kommutatív, asszociatív és idempotens. Def_2 a (H;le) [[oktatas:matematika:halmazok:relacio#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]] **félháló**, ha bármely két elemének létezik szuprémuma //vagy// ha bármely két elemének van infimuma. ===== háló ===== Def_1 A **háló** olyan kétműveletes (H;logicaland,logicalor) struktúra, amelyben (H;∨) és (H;∧) struktúrák félhálók, továbbá a két műveletre igazak az abszorpciós (elnyelési) törvények. Def_2 a (H;le) [[oktatas:matematika:halmazok:relacio#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]] **háló**, ha bármely két elemének van szuprémuma //és// infimuma. A két definíció ekvivalens a következő megfeleltetéssel: | a logicaland b = inf(a,b) | a logicalor b = sup(a,b) | Tehát hálóban a két műveletre igazak a következő tulajdonságok: * idempotens * kommutatív * asszociatív * abszorptív Ha igaz a két művelet egymásra nézve való disztributás is (mindkettő!), akkor disztributív-hálónak mondjuk. Az egységelemes vagy más néven korlátos hálóban van legkisebb (0) és legnagyobb (I) elem. Ekkor: forall x in H-ra igaz, hogy * x logicaland 0 = x, és * x logicalor I = x Def. Az egységelemes (H;logicaland,logicalor) hálóban az a **elem komplementuma** a prime, ha * a logicaland a prime = 0 és * a logicalor a prime = I, ahol 0, I a két művelet egységelemei. Egy háló **komplementumos**, ha minden elemének létezik legalább egy komplementuma. (Megjegyzés: disztributív hálóban egy elemnek legfeljebb egy lehet.) ==== Boole-algebra ==== Def_1 Egy disztributív komplementumos hálót Boole-algebrának nevezünk. Def_2 Részletesen: ... Tétel Minden véges elemszámú Boole-algebra elemszáma 2^n. ===== lánc ===== A **lánc**, vagy más nevén //teljesen rendezett halmaz// egy olyan [[oktatas:matematika:halmazok:relacio#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]], amelyben minden x,y ∈ L esetén x R y vagy y R x teljesül. (Azaz bármely két elem relációban áll egymással "valamilyen sorrendben".) Lásd még dichotómia, relációk. Minden lánc disztributív-háló. ===== vektortér ===== [[vektortér]] ====== Összefoglalás ===== ^ Tulajdonság ^ félcsoport ^ csoport ^ gyűrű ^ test ^ félháló ^ háló ^ Boole-algebra ^ | az első műveletre nézve: |||||||| ^ [[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]] | x | x | x | x | x | x | x | ^ [[matematika:algebra:egysegelemes]] | | x | x | x | | | x(0) | ^ [[inverzelemes]] | | x | x | x | | | (komplementum) | ^ [[kommutatív]] | | (Abel) | x | x | x | x | x | ^ [[idempotens]] | | | | | x | x | x | | az második műveletre nézve: |||||||| ^ [[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]] | | | x | x | x | x | x | ^ [[matematika:algebra:egysegelemes]] | | | o | x | | | x(I) | ^ [[inverzelemes]] | | | | x | | | (komplementum) | ^ [[kommutatív]] | | | o | o | x | x | x | ^ [[idempotens]] | | | | | x | x | x | | a két műveletre nézve: |||||||| ^ [[matematika:algebra:disztributiv]] | | | x | x | o | o | x | ^ [[abszorbtiv]] | | | | | x | x | x | ====== Külső hivatkozások ====== [[http://www.math.klte.hu/~lapi/veges_testek.pdf|Véges testek (Debreceni Egyetem, jegyzet)]]