====== Mersenne-számok ====== Tekintsük a következő számokat: * M₁ = 2¹-1 = 1 nem prím. * M₂ = 2²-1 = 3 prím. * M₃ = 2³-1 = 7 prím. * M₄ = 2⁴-1 = 15 nem prím. * M₅ = 2⁵-1 = 31 prím. * M₆ = 2⁶-1 = 63 nem prím. * M₇ = 2⁷-1 = 127 prím. De 2047=2¹¹-1=M₁₁ nem prím (osztható 89-cel és 23-mal). Mersenne-számoknak nevezzük a 2ⁿ-1 alakban felírható számokat. Egyes irodalmakban csak //p// prím kitevő esetén nevezik a számot Mersenne-számnak: M_p = 2^p-1. ====== Mersenne-prímek ====== Mersenne-prímeknek nevezzük a 2ⁿ-1 alakban felírható [[matematika:algebra:primszam]]okat. **Állítás:** A M_n=2ⁿ-1 prím, akkor //n// prímszám. **Bizonyítás:** Indirekt bizonyítás: tegyük fel, hogy //n=ab// összetett szám (//a//, //b// > 1). Ekkor 2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1=(2^a)^b-1^b, ami osztható 2^a-1-gyel (nevezetes azonosság), ami nagyobb 1-nél, és nem egyenlő a számmal sem, tehát valódi osztó - ami ellentmondás. Az M₂, M₃, M₅ és M₇ Mersenne-prímeket már az ókorban ismerték. Az M₁₃, M₁₇ és M₁₉ prímeket P. A. Cataldi fedezte fel 1588-ban. Leonhard Euler nevéhez fűződik az M₃₁ Mersenne-prím felfedezése 1750-ben. Több mint 100 éven át ez volt a legnagyobb ismert prím. 1876-ban E. Lucas (1842-1891) megállapította, hogy M₁₂₇ is prím - ez 39 számjegyű:\\ 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. További Mersenne-prímek: M₆₁, M₈₉, M₁₀₇, M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃, M₂₂₈₁, Mindmáig nem ismert, hogy mely //p// prímek esetén lesz M_p prím, illetve, hogy végtelen sok Mersenne-prím van-e. A Mersenne-prímek szoros kapcsolatban állnak az úgynevezett [[tökéletes szám]]okkal. ===== Marin Mersenne ===== {{ matematika:algebra:mersenne.jpg|{{matematika:algebra:mersenne.jpg|Marin Mersenne}} Marin Mersenne (1588-1648) francia matematikus, minorita szerzetes volt, aki 1644-ben megadta az M_p prímek listajat, ahol p ≤ 257. Szerinte p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 eseten kapunk M_p prímeket. De ez p = 67, 257 eseten nem igaz, másreszt kimaradtak a p = 61, 89, 107 prímek, melyekre M_p prímszám. ===== Nagy prímek keresése ===== 1996-ban indult egy program, a Nagy internetes Mersenne-prím keresés (Great Internet Mersenne Prime Search, [[http://www.mersenne.org/|GIMPS]]), melyben ma 240 ezer személyi komputeren fut a kliensprogram, a kutatásban bárki részt vehet. A kutatás akkor fejeződik be, ha valaki megtalálja az első, legalább 100 000 000 számjegyből álló Mersenne-prímet. 2003. november 17-e: a 40. Mersenne-prím M_20996011, ennek 6 320 430 jegye van. 2004. május 15: a 41. Mersenne-prím M_24036583 2005. február 15.: A 42. Mersenne-prím M_25964951, 7 816 230 számjeggyel. 2005. decemberében felfedezték a 43-adik Mersenne-prímet, ez a 2^{30 402 457}-1 szám, amely 9 152 052 számjegyű. 2006. szeptember 4-én fedezték fel a 44-edik Mersenne-prímet, ez a 2^{32 582 657}−1 szám, amely 9 808 358 számjegyű. 2008. augusztus 23-án Edson Smith gépe találta meg a 46. Mersenne-prímet: 2^{43 112 609}-1, ez 12 978 189 jegyű. 2008. szeptember 6-án Hans Michael Elvenich 11 millió 185 272 jegyből álló Mersenne-prímet talált: 2^{37 156 667} 2012. január 25-én Dr. Curtis Cooper találta meg a 48. Mersenne-prímet: 2^{57 885 161}-1, ami 17 425 170 jegyű, így **a jelenleg ismert legnagyobb prímszám** ====== Hivatkozások ====== * [[http://hu.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne|Marin Mersenne (wikipedia)]] * [[http://www.mersenne.org/|Nagy Internetes Mersenne Prím Keresés (GIMPS)]] * [[http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth/MersenneFermat,szines,%202005.pdf]] * [[http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth/Uj%20Mersenne%20prim.htm]] * [[http://hu.wikipedia.org/wiki/Mersenne-pr%C3%ADmek]] * [[http://www.komal.hu/cikkek/2004-02/freud.h.shtml]] Más érdekességek a számelmélet témaköréből: * [[tökéletes szám]] * [[barátságos számok]] * [[matematika:algebra:fermat-prim]] * [[matematika:algebra:fonixszam]]ok * [[pitagoraszi számhármasok]]