====== Mátrixok ======
Mátrixnak nevezzük a matematikában számok, illetve más matematikai mennyiségek téglalap alakú elrendezését, táblázatát. A mátrix elemei leggyakrabban valamilyen
gyűrű, test esetleg vektortér elemei, így értelmezhetővé válnak a mátrixokkal végzett műveletek is, melyeket az elemekkel végzett műveletekre vezetünk vissza.
Mátrixok segítségével leírhatók lineáris egyenletrendszerek, de mátrixok segítségével végzik a grafikai számításokat is.
===== Bevezetés: a lineáris egyenletrendszer mátrixa ======
**Gabriel Cramer** (1704-1752) svájci matematikus fogalmazta meg 1750 körül először általánosan a később róla elnevezett //Cramer-szabály//t, mely az egyenletrendszer megoldásait
az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak segítségével határozza meg. Később **Carl Friedrich Gauss** (1777-1855) német matematikus ír le egy már korábban is
ismert eljárást a lineáris egyenletrendszerek megoldására, melyben szintén az egyenletrendszer együtthatóiból alkotott mátrixon végzett átalakítások játsszák a főszerepet. Ezt
az algoritmust ma //Gauss-elimináció// néven emlegetjük.
Tekintsük a következő egyenletrendszert:
tabular{000}{00}{{2x+3y=5} {2y+x=3}} rbrace
Ennek az egyenletrendszernek van egy megoldsa: x = y = 1;
Kicsit módosítva kapjuk a következő egyenletrendszert:
tabular{000}{00}{{2x+4y=5} {2y+x=3}} rbrace
Aminek könnyen beláthatóan nincs megoldása, hiszen ha a (2) egyenlőség fennáll, akkor annak mindkét oldalát 2-vel szorozva
a 2x+4y=6 egyenlethez jutunk, ami ellentmond (1)-nek.
Az egyenletrendszerben a lényegi információt az együtthatók hordozzák. A változók betűjele mellékes, x és y helyett használhatnánk a és b betűket, vagy bármi mást,
szerepük csak annyi, hogy jelöljék, melyik együttható melyik változóra vonatkozik. Ez viszont az együtthatók rögzített sorrendjével is megadható, így például az első
egyenletrendszer a következő mátrixszal adható meg (az **egyenletrendszer mátrixa**):
(matrix{2}{3}{2 3 5 1 2 3})
Az együtthatókat tehát szigorúan a változók egy rögzített sorrendjének megfelelően írjuk a táblázatba (jelen esetben x, y a változók sorrendje).
A szűkebb értelemben vett **együttható-mátrix** egy négyzetes mátrix:
(matrix{2}{2}{2 3 1 2})
===== A mátrix =====
A = ( matrix{3}{3}{a_{11} cdots a_{1n} vdots ddots vdots a_{m1} cdots a_{mn}})
A mátrix i-edik sorának (i sorindex) j-edik (j oszlopindex) elemét tehát a_{ij} jelöli.
* A 1xn-es mátrixokat **sorvektor**nak, az nx1-eseket **oszlopvektor**nak nevezzük.
* Az nxn-es mátrixokat **négyzetes mátrix**oknak nevezzük.
* A csupa 0 értéket tartalmazó mátrix a **nullmátrix**. (jel: **N**)
* Azokat a négyzetes mátrixokat, melyek főátlójában (a_{11} cdots a_{nn}) egyesek, többi helyén 0 értékek állnak **egységmátrix**nak nevezzük. (jel: **E**)
==== Mátrixok egyenlősége ====
Két mátrix **egyenlő**, ha méretük (dimenzióik) megegyezik és megfelelő elemeik egyenlők.
==== Mátrixok összege ====
Összeadni csak két azonos dimenziójú mátrixot lehet, ilyenkor az összegmátrix a tagokkal megegyező típusú, elemei pedig a két tag megfelelő elemeinek összegeként állnak elő, azaz
c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}.
Példul:
(matrix{2}{3}{1 2 5 3 6 9}) + (matrix{2}{3}{4 {-1} 3 0 2 {-3}}) = (matrix{2}{3}{5 1 8 3 8 6})
Az összeadás az elemek közötti összeadás művelet kommutatív és asszociatív tulajdonságát öröklik, valamint a nullmátrix neutrális elem: A+N = A
==== Mátrix szorzása számmal ====
Mátrix számszorosa (k) az eredeti mátrix-szal azonos típusú, elemei az eredeti mátrix számszorosai, azaz c_{ij} = k cdot a_{ij}.
Példul:
2 cdot (matrix{2}{2}{3 4 {-1} 6}) = (matrix{2}{2}{6 8 {-2} 12})
==== Mátrixszorzás ====
Az A nxm-es mátrix csak olyan B mátrixszal szorozható, melynek mérete mxk, tehát szorzáskor az első tényező oszlopainak száma meg kell egyezzen a második tényező sorainak számával.
Az eredmény egy nxk méretű mátrix lesz, melynek elemeit úgy kapjuk, hogy az első tényező megfelelő sorának és a második mátrix megfelelő oszlopának elemeiből szorzatösszeget képzünk, azaz
c_{ij} = sum{l=1}{m}{a_{il} cdot b_{lj}}
Például:
(matrix{2}{3}{6 2 0 {-1} 4 3}) cdot (matrix{3}{3}{1 2 1 4 {-2} 0 8 0 1}) = (matrix{2}{3}{
{6 cdot 1 + 2 cdot 4 + 0 cdot 8} {6 cdot 2 + 2 cdot (-2) + 0 cdot 0} {6 cdot 1 + 2 cdot 0 + 0 cdot 1}
{(-1) cdot 1 + 4 cdot 4 + 3 cdot 8} {(-1) cdot 2 + 4 cdot (-2) + 3 cdot 0} {(-1) cdot 1 + 4 cdot 0 + 3 cdot 1}
}) = (matrix{2}{3}{14 8 6 36 {-10} 2})
A művelet nem kommutatív (ez már a dimenziókra vonatkozó megkötésekből is következik), de asszociatív.
Az egységmátrix valóban neutrális elem:
A cdot E = A, illetve E cdot A = A.(A két egyenlőségben szereplő egységmátrix lehet különböző méretű!)
Ha egy szorzat egyik tényezője nullmátrix, akkor az eredmény is nullmátrix lesz, azaz
A cdot N = N, illetve N cdot A = N. (A két esetben lehet N eltérő méretű nullmátrix)
Az állítás megfordítása nem igaz, tehát egy szorzat lehet akkor is nullmátrix, ha egyik tényező sem nullmátrix:
(matrix{2}{2}{0 1 0 2}) cdot (matrix{2}{2}{3 5 0 0}) = (matrix{2}{2}{0 0 0 0})
==== Négyzetes mátrix determinánsa ====
A determináns (jel: |A|) a négyzetes mátrixhoz rendelt számérték, melyet a mátrix elemeiből számolhatunk ki a következő rekurzív kifejtési szabály szerint:
- Az 1x1-es mátrix determinánsa maga az a_{11} elem.
- Nagyobb mátrix determinánsa kiszámítható az |A| = sum{j = 1}{n}{(-1)^(1+j) cdot a_{1j} cdot A_{1j}}, ahol A_{ij} annak az almátrixnak a determinánsát jelöli, amit úgy kapunk, hogy az eredeti mátrixból elhagyjuk az i. sor és a j. oszlop elemeit.
A fenti szabályban a kifejtés az első sor szerint történt. Belátható, hogy a determináns értéke nem változik, ha a kifejtést tetszőleges i. sor, vagy j. oszlop szerint végezzük:
Rögzített i. sor szerinti kifejtés:
|A| = sum{j = 1}{n}{(-1)^(i+j) cdot a_ij cdot A_{ij}}
Rögzített j. oszlop szerinti kifejtés:
|A| = sum{i = 1}{n}{(-1)^(i+j) cdot a_ij cdot A_{ij}}
A képletekben szereplő (-1)^(i+j) biztosítja a váltakozó előjelet. Ezt szokás //sakktábla szabály//ként emlegetni:
tabular{11111}{11111}{{+} {-} {+} {-} {-} {+} {-} {+} {+} {-} {+} {-} {-} {+} {-} {+}}
Könnyen beláthatók a következő tulajdonságok:
* A mátrix determinánsa (-1)-szeresére változik, ha két sorát, vagy két oszlopát felcseréljük
* Ha a mátrixnak van csupa nulla értékű sora vagy oszlopa akkor a determinánsa 0.
* Ha a mátrixnak két sora, vagy két oszlopa megegyezik, akkor a determinánsa 0.
* Ha egy sort vagy oszlopot k számmal szorzunk, akkor a determináns értéke is k-szorosára változik
* A determináns értéke nem változik, ha egy sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sorának (vagy oszlopának) tetszőleges számszorosát.
* Ha a főátló egyik oldalán minden elem nulla (diagonális mátrix), akkor a determináns a főátlóban álló elemek szorzata.
===== Lineris egyenletrendszerek megoldása =====
Tekintsük a következő három ismeretlenes egyenletrendszert:
tabular{0000}{00}{
{2y+x-z=4}
{2x+y-3z=1}
{z-y+x=0}
} rbrace
Célunk az
tabular{0000}{00}{
{x= cdots}
{y= cdots}
{z= cdots}
} rbrace
alak elérése.
A változók sorrendjét rögzítve x_1=x, x_2=x és x_3=z jelölésekkel:
tabular{0000}{00}{
{x_1+2x_2-x_3=4}
{2x_1+x_2-3x_3=1}
{x_1-x_2+x_3=0}
} rbrace
amiből a
tabular{0000}{00}{
{1 cdot x_1 + 0 cdot x_2 + 0 cdot x_3= cdots}
{0 cdot x_1 + 1 cdot x_2 + 0 cdot x_3= cdots}
{0 cdot x_1 + 0 cdot x_2 + 1 cdot x_3= cdots}
} rbrace
formát akarjuk elérni.
==== Gauss-eliminció ====
Az egyenlet-rendszert mátrix-szal felírva:
(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 2 1 {-3} 1 1 {-1} 1 0})
alakból szeretnénk eljutni a
(matrix{3}{4}{1 0 0 cdots 0 1 0 cdots 0 0 1 cdots})
alakhoz.
Az egyenletrendszerek megoldása során megengedett lépések megfelelői most is legális lépések, ezért:
- tetszőleges sort szorozhatunk nem nulla számmal
- sorokat kivonhatunk egymásból
- sorokat megcserélhetünk egymással
A célunk tehát, hogy a mátrix utolsó oszlopától eltekintve egységmátrixot kapjunk, ekkor az utolsó oszlopban lévő számok adják az egyenletrendszer megoldását.
Az algoritmus lépései:
- válasszunk ki egy olyan sort első sornak, amelyben az első együttható nem nulla (esetleges sorcsere)
- osszuk le a sort a nem nulla együtthatóval (sor szorzása számmal)
- az egyenlő együtthatók módszeréhez hasonlóan vonjuk ki az első egyenlet megfelelő számszorosait a többi sorból úgy, hogy azokban az első egyűttható nullává váljon. (sor szorzása számmal, sorok kivonása egymásból)
- a fenti eljárást ismételjük a 2., 3., majd a további sorokra a 2., 3., majd a további együtthatók kinullázására.
Példánk lépésenként:
(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 2 1 {-3} 1 1 {-1} 1 0})
(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 0 {-3} {-1} {-7} 0 {-3} 2 {-4}})
(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 0 1 {1/3} {7/3} 0 {-3} 2 {-4}})
(matrix{3}{4}{1 0 {-5/3} {-2/3} 0 1 {1/3} {7/3} 0 0 3 3})
(matrix{3}{4}{1 0 {-5/3} {-2/3} 0 1 {1/3} {7/3} 0 0 1 1})
(matrix{3}{4}{1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1})
==== Cramer szabály ====
Jelölje //A// az együtthatók négyzetes mátrixát, //x// a változók oszlopvektorát, //b// pedig a konstans tagok oszlopvektorát. Ekkor az egyenletrendszer //Ax//=//b// alakban írható fel.
Legyen B_i az a mátrix, melyet //A//-ból úgy kapunk, hogy az i-edik oszlop helyére //b// vektor elemeit írjuk.
Ekkor ha |A| != 0, akkor az egyenletrendszer megoldásait x_i = {|B_i|}/{|A|} képlettel kapjuk.
**Bizonyítás:**
Legyen az egyenletrendszer egy megoldása x1, x2, ..., xn.
Szorozzuk meg az //A// determináns i-edik oszlopát xi-vel, ezáltal a determináns értéke is xi-szeresére változik.
Ezek után adjuk hozzá rendre az i-edik oszlophoz az első oszlop x1-szeresét, a második oszlop x2-szörösét, s így tovább, egészen az n. oszlop xn-szereséig. Eközben a detreminns értéke nem változik.
Így tehát a következő determinánshoz jutunk:
x_i cdot |A| = delim{|}{
matrix{5}{5}{
{a_11} {cdots} {a_11 x_1 + a_12 x_2 + cdots + a_1n x_n} cdots {a_1n}
{vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots}
{a_j1} {cdots} {a_j1 x_1 + a_j2 x_2 + cdots + a_jn x_n} cdots {a_jn}
{vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots}
{a_n1} {cdots} {a_n1 x_1 + a_n2 x_2 + cdots + a_nn x_n} cdots {a_nn}
}}
{|} = delim{|}{
matrix{5}{5}{
{a_11} {cdots} {b_1} cdots {a_1n}
{vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots}
{a_j1} {cdots} {b_j} cdots {a_jn}
{vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots}
{a_n1} {cdots} {b_n} cdots {a_nn}
}}
{|} = |B_i|
Amiből xi-t kifejezve kapjuk a megadott képletet.
===== Geometriai transzformciók =====
Legyen P(x; y) pont a síkban. Ennek képét megkaphatjuk valamely A 2x2-es mátrixszal való szorzás eredményeként. Az A*p = p' szorzásban p és p' oszlopvektorok.
==== identitás ====
I cdot p = (matrix{2}{2}{1 0 0 1}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{x y})
==== tükrözés X tengelyre ====
T_x cdot p = (matrix{2}{2}{1 0 0 {-1}}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{x {-y}})
==== tükrözés Y tengelyre ====
T_y cdot p = (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 1}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{{-x} y})
==== középpontos tükrözés az origóra ====
K cdot p = (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 {-1}}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{{-x} {-y}})
Érdemes megjegyezni, hogy a középpontos tükrözés előlál az előző két tengelyes tükrözés szorzataként, ami a megfelelő mátrixokat szorozva is látszik:
K = T_x cdot T_y = (matrix{2}{2}{1 0 0 {-1}}) cdot (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 1}) = (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 {-1}})
==== tükrözés x=y egyenesre ====
T_x cdot p = (matrix{2}{2}{0 1 1 0}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{y x})
==== origó körüli forgatás ====
F cdot p = (matrix{2}{2}{{cos alpha} {-sin alpha} {sin alpha} {cos alpha}}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = p'
Érdemes megjegyezni, hogy valamely lineris transzformáció mátrixa előállítható úgy, hogy a mtriy első oszlopába az (1, 0), msodik oszlopba a (0, 1) bázisvektorok képének koordinátáit helyettesítjük.
A forgatás esetén példul a szögfüggvények általános definíciója értelmében:
F cdot (matrix{2}{1}{1 0}) = (matrix{2}{1}{{cos alpha} {sin alpha}})
F cdot (matrix{2}{1}{0 1}) = (matrix{2}{1}{{-sin alpha} {cos alpha}})
===== Néhány további alkalmazás =====
==== Sarrus szabály ====
A 3x3-as mtrixok determinánsának kiszámítására használható, könnyen megjegyezhető kiszmítási mód a következő:
Ismételjük meg a 3x3-as mátrix első és második oszlopát az első három oszlop után, így egy 3x5-ös mátrixot kapunk. Ezek után vegyük a főátlóval párhuzamos 3 átlóban álló elemek szorzatát,
majd a három szorzatot adjuk össze. Végezzük el ugyanezt a melléktlóval prhuzamos hrom átló elemeivel is, végül az így kapott két összeget vonjuk ki egymsból.
Például:
(matrix{3}{3}{1 2 1 4 {-2} 0 8 0 1}) right (matrix{3}{5}{1 2 1 1 2 4 {-2} 0 4 {-2} 8 0 1 8 0})
Főátlóval párhuzamos: F = 1*(-2)*1 + 2*0*8 + 1*4*0 = -2
Mellékátlóval párhuzamos: M = 1*(-2)*8 + 1*0*0 + 2*4*1 = -8
A determináns értéke: F-M = (-2)-(-8) = 6
==== Két pontra illeszkedő egyenes egyenlete determinánssal ====
Legyen a sík két pontja P(x_1; y_1) és Q(x_2; y_2). Ekkor a két pontra illeszkedő egyenes egyenlete:
(y-y_1)(x_2-x_1)-(y_2-y_1)(x-x_1)=0, ami az ismeretlenek szerint rendezve
(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 alakban írható.
Ugyanezt a kifejezést kapjuk az alábbi 3x3-as determináns első sor szerinti kifejtésével is:
delim{|} {matrix{3}{3}{x y 1 {x_1} {y_1} 1 {x_2} {y_2} 1}}{|}=0
Az egyenlet az alábbi 2x2-es determináns segítségével is kifejezhető:
delim{|} {matrix{2}{2}{{x-x_1} {y-y_1} {x-x_2} {y-y_2}}} {|} = 0
ami kifejtéssel szintén ellenőrizhető.
==== Háromszög területe determinánssal ====
Legyen a sík egy háromszögének három csúcspontja A(x_1; y_1), B(x_2; y_2), C(x_3; y_3). Ekkor az ABC háromszög előjeles területe:
T = {1/2} delim{|}{
matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} 1 {x_2} {y_2} 1 {x_3} {y_3} 1}
}{|}
Ld. Geometria feladatgyűjtemény II. 783. és 784. feladatok.
1. Ha A pont az origóban van, akkor a terület képlet 1/2*|x2*y3 - x3*y2| a jól ismert háromszög terület képlet szerint.
2. Az általános esetet egy -a=(-x1;-y1) vektorral való eltolással visszavezetjük az előző esetre. Az eltolás után a három pont koordinátái:
A(0; 0), B(x2-x1; y2-y1) és C(x3-x1; y3-y1). A fenti képletet alkalmazva rendezés után kapjuk, hogy a hromszög területe:
T=1/2*|x1*(y2-y3)+X2*(y3-y1)+x3*(y1-y2)|
ami az első oszlop szerint kifejtve épp a fenti determinánssal megadott kifejezéssel egyenlő.
A bizonyításhoz szükséges a T = {|x_1 y_2 - x_2 y_1|}/2 háromszögekre vonatkozó területképlet, ahol a(x_1; y_1), b(x_2; y_2) a
háromszög két egy csúcsból induló oldalvektora.
Legyen a háromszög három oldala //a//, //b// és //c//. Ekkor a háromszög területe:
T^2 = -{1/16} delim{|}{
matrix{4}{4}{
0 a b c
a 0 c b
b c 0 a
c b a 0
}
}{|}
A kifejezés pozitív gyöke adja a területet. (Héron képlet)
==== Három ponttal adott kör egyenlete ====
Legyen a sík egy körének három pontja A(x_1; y_1), B(x_2; y_2), C(x_3; y_3). Ekkor a kör egyenlete:
delim{|}{
matrix{4}{4}{
{x^2+y^2} {x} {y} 1
{x_1^2+y_1^2} {x_1} {y_1} 1
{x_2^2+y_2^2} {x_2} {y_2} 1
{x_3^2+y_3^2} {x_3} {y_3} 1
}
}{|} = 0
==== Fibonacci sorozat determinánsokkal ====
Belátható, hogy az n. fibonacci szám előáll egy (n-1)x(n-1)-es mátrix determinánsaként, melynek főátlójában csupa egyes, felette csupa -1, alatta szintén csupa 1 érték áll, többi eleme pedig 0.
F_1 = 1
F_2 = | 1 | = 1
F_3 = delim{|}{matrix{2}{2}{1 {-1} 1 1}}{|} = 2
F_4 = delim{|}{matrix{3}{3}{1 {-1} 0 1 1 {-1} 0 1 1}}{|} = 3
F_5 = delim{|}{matrix{4}{4}{1 {-1} 0 0 1 1 {-1} 0 0 1 1 {-1} 0 0 1 1}}{|} = 5
==== vektorok vektoriális szorzata ====
Legyen a tér két vektora a(x_1; y_1; z_1) és b(x_2; y_2; z_2), a tér ortonormált bázisának vektorai pedig i, j, k. Ekkor
a x b = delim{|}{
matrix{3}{3}{i j k {x_1} {y_1} {z_1} {x_2} {y_2} {z_2}}
}{|}
==== vektorok vegyes szorzata ====
Legyen a tér három vektora a(x_1; y_1; z_1), b(x_2; y_2; z_2) és c(x_3; y_3; z_3). Ekkor az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
(abc) = delim{|}{
matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {z_1} {x_2} {y_2} {z_2} {x_3} {y_3} {z_3}}
}{|}
Ennek ismeretében könnyen belátható, hogy (abc) = (bca) = (cab).