====== Főnix számok ======
{{ matematika:algebra:fonix.gif|Az újraéledő Főnix}}
A legendás Főnix (Φοῖνιξ) mítikus madár, mely eredetileg az egyiptomi, majd több más nép hitvilágában is megjelenik. A mítikus történetekben az ókortól napjainkig fel-feltűnő madár (például Dumbledore főnixe a Harry Potter sorozatban) a legenda szerint 500 (más források szerint 1461 vagy 15 294) évente elég, majd hamvaiból újjáéled.

A számok körében égetés helyett a szám néhány számjegyét levágjuk, majd a levágott darabot a maradék végéhez illesztjük - így a szám egy többszöröse "éled fel":
142857, 428571, 285714, 857142, 571428...

----

==== Meghatározás ====
A **főnixszámok** olyan természetes számok, melyek valamely többszöröse(i) az eredeti számmal megegyező számjegyekből áll(nak), ráadásul ciklikusan nézve azonos sorrenben.

==== Egy szép példa ====

A legismertebb példa a 142857. Lássuk ennek többszöröseit:

  142857*1=142857
  142857*2=285714
  142857*3=428571
  142857*4=571428
  142857*5=714285
  142857*6=857142

Vizsgáljuk tovább a fenti példát!
A következő többszöröst felírva megtalálhatjuk mi a főnixszámok titka:

  142857*7=999999

A 999999=1000000-1, másképp fogalmazva az 1000000 héttel osztva 1 maradékot ad. Az osztás eredménye tizedestört alakban:

  1000000:7=142857,142857˙

Valójában a 142857 az 1/7 tört szakaszos tizedes tört alakjának ismétlődő szakasza.

Egy szám reciprokának tizedestört alakja akkor ad főnixszámot, ha ez a tizedestört periodikus és periódusa 1-gyel kevesebb jegyből áll, mint az a szám, amelynek reciprokát vettük. A 7 után először a 17 rendelkezik ezzel a tulajdonsággal: reciproka periodikus tizedestört és szakasza 16 jegyű. Ez a szakasz valóban főnixszámot is szolgáltat, ha a szakasz elején álló 0-t is hozzászámítjuk a számhoz

Valószínűnek látszik, hogy végtelen sok főnixszám létezik, ezt azonban nem sikerült ez ideig sem bebizonyítani, sem megcáfolni.

==== Egy másik példa ====

Egy kevésbé "tökéletes" példa a 153846. Ennek többszöröseit nézve:
  153846*2=307692
  153846*3=461538
  153846*4=615384
  153846*5=769230
  153846*6=923076

Láthatjuk, hogy itt csak a szám háromszorosa és négyszerese adja ugyanazokat a számjegyeket, melyek az eredeti számban szerepeltek. Most a szám 13-szorosát kell megnéznünk, hogy lássuk a jelenség magyarázatát:
  153846*13=1999998
Itt tehát a 2000000 13-mal vett osztási maradéka lett épp kettő, ebből adódik az ismétlődés. Másképp fogalmazva a 2/13 szakaszos tizedes tört hatjegyű szakasza adja a főnixszámot. Lássuk az osztást:
      2 : 13 = 0,153846
       70
        50
        110
          60
           80
            2
Látjuk, hogy a maradékok között most csak a 6 és a 8 többszöröse az osztandónak - ebből adódik, hogy csak a szám 3, illetve 4-szerese lesz számunkra megfelelő.

==== Feladatok ====

Melyik az az ötjegyű természetes szám, amely "elejére", illetve "végére" az 1 számjegyet írva két olyan hatjegyű számot kapunk, amelyek közül az egyik háromszorosa a másiknak?

[[oktatas:matematika:feladatok:szamelmelet:fonixszam|További feladatok]]




====== Hivatkozások ======

  * [[http://www.hik.hu/tankonyvtar/site/books/b123/ar10.html|Surányi János: érdekes számok]]
  * [[http://www.sulinet.hu/tart/cikk/Se/0/17605/1|A főnix-számokról (SuliNet: Konfár László)]]
  * [[http://www.sulinet.hu/tart/fcikk/Kch/0/18475/1|A főnix-számokról mégegyszer (SuliNet: Konfár László)]]
  * [[http://www.tar.hu/majraszaft/Prog/SzamElemzoSetupV.2.50+.exe|Májraszaft Számelemző - számelméleti segédprogram]]
----

Más érdekességek a számelmélet témaköréből:

  * [[tökéletes szám]]
  * [[barátságos számok]]
  * [[fermat-prím]]
  * [[mersenne-prím]]
  * [[pitagoraszi számhármasok]]