====== Fermat számok ====== Tekintsük a p^k+1 alakú számokat: * 2^1+1 = 3 prím * 2^2+1 = 5 prím * 2^3+1 = 9 nem prím * 2^4+1 = 17 prím * 2^5+1 = 33 nem prím * 2^6+1 = 65 nem prím * 2^7+1 = 129 nem prím * 2^8+1 = 257 prím **Állítás:** Ha //k//>0 és 2^k+1 prímszám, akkor //k// kettőhatvány. **Bizonyítás:** Ha //k//=2ⁿm alakú, ahol //m// páratlan szám, akkor 2^k+1=(2^2^n)^m+1 osztható 2^2^n+1-gyel (nevezetes azonosság), s így következik, hogy ez maga a szám. Az f_n = 2^2^n+1 alakú számokat **Fermat-szám**oknak nevezzük. ====== Fermat prím ====== **Fermat-féle príme**knek nevezzük a //p=2^k+1// alakú, pontosabban a 2^2^n+1 alakú prímeket. A ma ismert fermat prímek: * f_0 = 2^{2^0}+1 = 3 * f_1 = 2^{2^1}+1 = 5 * f_2 = 2^{2^2}+1 = 17 * f_3 = 2^{2^3}+1 = 257 * f_4 = 2^{2^4}+1 = 65537 Pierre Fermat (1601-1665) francia matematikus egy 1640-ben ırott levelében azt a sejtést fogalmazta meg, hogy az f_n számok mind prímek. A sejtést 1732-ben Leonhard Euler cáfolta azzal, hogy megmutatta: f_5 = 2^{2^4}+1 = 65537 = 641 cdot 6 700 417 nem prím (Euler 1732)! A sejtés olyannyira nem igaz, hogy mindmáig nem találtak további Fermat-prímeket, az újabb sejtés, hogy nincs is több. ===== Fermat prímek és szerkeszthetőség ===== A Fermat-prímek azért is érdekesek, mert Carl Friedrich Gauss (1777-1855) egy nevezetes eredménye szerint pontosan azok a szabályos //n//-szögek [[oktatas:matematika:geometria:szerkesztes|szerkeszthetők]] meg körzővel és vonalzóval, amelyekre //n// egyenlő 2 valamely hatványának és különböző Fermat-prímeknek a szorzatával. ====== Hivatkozások ====== Más érdekességek a számelmélet témaköréből: * [[mersenne-prím]] * [[tökéletes szám]] * [[barátságos számok]] * [[főnixszám]]ok * [[pitagoraszi számhármasok]]