====== Geometriai transzformáció ======

A geometriai transzformáció olyan [[matematika:analízis:függvények|függvény]], melynek [[matematika:analízis:függvények#értelmezési tartomány]]a és [[matematika:analízis:függvények#képhalmaz]]a is a sík (vagy tér) pontjainak halmaza.



===== Geometriai transzformációk csoportosítása =====

  * [[matematika:geometria:transzformaciok:egybevagosagi_transzformacio]]k
  * [[hasonlósági transzformáció]]k
  * egyéb transzformációk
    * [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:inverzio]] (körretükrözés)
    * [[matematika:geometria:transzformaciok:affin_transzformacio]]k
      * [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:nyiras]]
      * [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:skalazas]] (pl. tengelyes affinitás)

=== Geometriai transzformációk Klein-féle rendszerezése ===
    * **Homeomorfia** (folytonosság és illeszkedés tartás, vonalakon elhelyezkedő pontok rendezettsége is megmarad - topológikusan ekvivalens alakzatok jönnek létre)
    * **Anamorfia** (pl. [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:inverzio]])
    * **Kollineáció** vagy projektivitás (pl. centrális kollineáció - egyenestartó homeomorfia, azaz egyenestartó, bijektív leképezés - kettősviszony tartó)
    * **Affinitás** (pl. nyírás, tengelyes affinitás - olyan kollineáció, melyben párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak, tehát párhuzamosság tartó)
    * **Hasonlóság** (pl. középpontos hasonlóság - olyan affinitás, mely megtartja a távolságok arányát és a szögeket)
    * **Egybevágóság** (olyan hasonlóság, mely távolságtartó)


===== Transzformációk szorzása =====

Transzformációk szorzása alatt a transzformációk egymás utánját értjük, tehát valójában a transzformációk, mint függvények függvénykompozíciója a szorzat (összetett függvény). Ebből adódik, hogy a végrahajtás sorrendje jobbról balra olvasandó:

<m>t_1 t_2 F_{O,alpha} E_v  right t_1(t_2(F_{0,alpha}(E_v(P))))</m>

A transzformációk szorzása [[matematika:algebra:asszociativ|asszociatív]] művelet.

Legyen ugyanis <m>T_1</m>, <m>T_2</m> és <m>T_3</m> geometriai transzformáció, ahol tetszőleges //P// pontra legyen <m>T_1(P) = Q</m>, <m>T_2(Q)=R</m> és <m>T_3(R)=M</m>. 

Ekkor <m>T_3 cdot (T_2 cdot T_1)(P) = T_3(T_2(Q)) = T_3(R) = M</m> és <m>(T_3 cdot T_2) cdot T_1(P) = (T_3 cdot T_2)(Q) = T_3(T_2(Q)) = T_3(R) = M</m>. Tehát
<m>T_3 cdot (T_2 cdot T_1) = (T_3 cdot T_2) cdot T_1</m>.

A geometriai transzformációk halmazában az [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:identitas]] [[matematika:algebra:egysegelemes|neutrális elem]] (egységelem), hiszen tetszőleges //T// transzformáció esetén <m>T(I(P)) = T(P) = I(T(P))</m>, tehát <m>T cdot I = I cdot T = T</m>.

A fentiekből következik, hogy a geometriai transzformációk minden olyan szorzásra zárt részhalmaza [[matematika:algebra:strukturak#csoport|csoport]], melyben létezik minden transzformációnak inverze. Ilyen pl. a bijektív geometriai transzformációk halmaza, a [[hasonlósági transzformáció]]k halmaza, vagy épp az [[matematika:geometria:transzformaciok:egybevagosagi_transzformacio]]k halmaza.